文章目录

一、前言
二、计算几何基本概念
三、计算几何基础算法
四、计算几何算法和应用
五、计算几何题集整理

一、前言

最近听过感触最深的一句话：思想能够到达的地方比光速还要快！月球到了！太阳到了！你能知道的就是你能到达的，所以我们才要扩充我们的知识面，你要知道你才能到啊！
太阳之外是什么？不知道了？到不了了，原因是什么？因为无知！因为我们把时间和精力花在了喝酒、吃饭、K歌。
如果你有足够大的勇气去说再见，放弃一切娱乐，从现在开始每天学习，生活一定会奖励你一个新的开始。人生最难的是改变自己。凤凰涅槃浴火重生的人都很了不起。

二、计算几何基本概念

计算几何是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。

1、浮点数精度

1）double 代替 float

c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；

2）浮点数判定

由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：

const double eps = 1e-8;
bool EQ(double a, double b) {
    
    
    return fabs(a - b) < eps;
}

并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：

int threeValue(double d) {
    
    
    if (fabs(d) < eps)
        return 0;
    return d > 0 ? 1 : -1;
}

3）负零判定

因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：

    double v = -0.0000000001;
    printf("%.2lf\n", v);

避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：

    double v = -0.0000000001;
    if(threeValue(v) == 0) {
    
    
        v = fabs(v);
    }
    printf("%.2lf\n", v);

4）避免三角函数、对数、开方、除法等

c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。

2、点和向量

1）定义

本章为计算几何入门级，所以只介绍二维的情况，对于二维的点，只需要两个浮点数表示即可，点的定义如下：

typedef double Type;
class Point2D {
    
    
private:
    Type x, y;
public:
    Point2D(Type _x, Type _y) : x(_x), y(_y) {
    
    }
    ...
};

两点相减就变成了向量，向量支持平移（可以将起点平移到坐标系原点(0,0)），所以向量的程序运算和点几乎无差别，可以直接用 typedef 定义：

typedef Point2D Vector2D;

数学表示如下：
$\vec a$

2）四则运算

点（向量）的四则运算加减乘除如下：

加

实现的是两个向量相加，代码如下：

Point2D Point2D::operator+(const Point2D& other) const {
    
    
    return Point2D(x + other.x, y + other.y);
}

如图二-2-1所示，红色向量为两向量相加后的向量；
图二-2-1

减

实现的是两个向量相减，代码如下：

Point2D Point2D::operator-(const Point2D& other) const {
    
    
    return Point2D(x - other.x, y - other.y);
}

如图二-2-2所示，红色向量为两向量相减后的向量；
图二-2-2

乘

向量和向量的乘法分为点乘和叉乘，这个后面再展开；
这里的乘法为向量和数字的乘法，代码实现如下：

Point2D Point2D::operator *(const double &k) const {
    
    
    return Point2D(x * k, y * k);
}

如图二-2-3所示，向量乘法就是将向量扩大( $k > 1$ )或缩短( $k < 1$ ) $k$ 倍；
图二-2-3

除

向量和向量的之间不存在除法；
向量和数字的除法，可以转换成向量乘法（乘上 $k$ 的倒数）。

2、向量的模

两点之间的欧几里得距离，为两点组成向量的模，代码实现如下：

double Vector2D::len() {
    
    
    return sqrt(x*x + y*y);
}

调用的时候，可以直接调用两点之间的减法，再调用 $l e n$ 成员函数，实现如下：

Point2D a(0, 2), b(3, 4);
double dist = (b - a).len();

优化：在单纯进行向量长度比较的时候，往往只需要知道哪个更长（或者更短），

3、标准化

有时候为了方便计算，会把向量转换成 单位向量（模为 1 的向量），此所谓标准化。实现如下：

Point2D Vector2D::normalize() {
    
    
    double l = len();
    if (threeValue(l)) {
    
    
        x /= l, y /= l;
    }
    return *this;
}

由于存在零向量，所以标准化过程中，在进行除法的时候需要先用三值函数判断向量的模是否为0，避免引起除零错误；

4、点乘

点乘（又叫点积、数量积、内积），表示的是两个向量每一维相乘的加和，结果是个数字，二维的情况如下：
$\vec a = (x_a,y_a)$ $\vec b = (x_b,y_b)$ $\vec a \cdot \vec b = x_ax_b+y_ay_b$
代码实现如下：

Type Point2D::operator*(const Point2D& other) const {
    
    
    return x*other.x + y*other.y;
}

（当然，点积同样适用于三维、甚至多维的情况）
点乘可以用来求两个向量的夹角，公式如下：
$\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\theta$
从以上公式可以看出，点乘的结果和夹角的关系：
1）点乘为0，夹角为90度；
2）点乘为1，夹角为0度；
3）点乘为-1，夹角为180度；
特殊的，任何向量和零向量的点乘都为 0；
下文会介绍点乘在线段判交中的应用；

5、叉乘

叉乘（又叫叉积、向量积，外积），表示的是两个向量经过运算后，和这两个向量垂直的向量（和点乘不同，它的结果还是一个向量），如下：
$\vec a = (x_a,y_a,z_a)$ $\vec b = (x_b,y_b,z_b)$ $\vec a \times \vec b = \vec c = (y_az_b-z_ay_b) \vec i + (z_ax_b-x_az_b)\vec j + (x_ay_b-y_ax_b)\vec k$
其中 $\vec i = (1, 0, 0), \vec j = (0, 1, 0), \vec k = (0, 0, 1)$
当两个向量都在 $z = 0$ 的平面上时， $z_a=z_b=0$ ，退化为二维的情况，则有 $\vec a \times \vec b = (x_ay_b-y_ax_b)\vec k$
代码实现如下（因为 $\vec k$ 方向已经确定，为垂直原向量，所以返回值可以定义为一个数值类型）：

Type Point2D::X(const Point2D& other) const {
    
    
    return x*other.y - y*other.x;
}

在二维计算几何中，叉乘可以用来判断两个点是否在一个向量的同一侧，如图二-5-1所示：

图二-5-1

对于向量 $\vec s = OS$ ，假设有任意一个点 $T (x, y)$ ，对原点到这个点做一个向量 $\vec t$ 。那么有叉乘：
$\vec s \times \vec t = (10y-x10) \vec k$
1） $\vec s \times \vec t > 0$ ，则 $(x, y)$ 在 $\vec s$ 左侧（参考点A）；
2） $\vec s \times \vec t = 0$ ，则 $(x, y)$ 和 $\vec s$ 共线（参考点B）；
3） $\vec s \times \vec t < 0$ ，则 $(x, y)$ 在 $\vec s$ 右侧（参考点C）；

扫描二维码关注公众号，回复： 12393954 查看本文章
所以，只要两个点分别和对应向量做叉乘，再将结果相乘，如果值大于0，则代表同侧；小于零代表异侧；
叉乘还代表了两个向量组成的平行四边形的面积，有公式：
$\vec a \times \vec b = |\vec a||\vec b|sin\theta$
同样也代表了两个向量组成的三角形的面积的两倍。

6、旋转

通过叉乘和点乘联立方程组，可以求出一个点绕着原点旋转 $\theta$ 角度后的点的位置；
令旋转前的点的位置为 $S (x_s,y_s)$ ，旋转 $\theta$ 角度后的点的位置 $T(x_t,y_t)$ ，则有：
$\begin{cases} \vec s \cdot \vec t = x_sx_t + y_sy_t = (x_s^2+y_s^2)cos\theta \\ \vec s \times \vec t = x_sy_t - y_sx_t = (x_s^2+y_s^2)sin\theta \end{cases}$
两个方程，两个未知数，求解得到：
$\begin{cases} x_t= x_scos\theta - y_ssin\theta\\ y_t = x_ssin\theta + y_scos\theta\\ \end{cases}$
表示成矩阵的形式为：
$\left[ \begin{matrix} x_t & y_t \end{matrix} \right] \quad = \left[ \begin{matrix} x_s & y_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right]$
代码实现如下：

Point2D Point2D::turn(double theta) {
    
    
    double costheta = cos(theta);
    double sintheta = sin(theta);
    return Point2D(
        x*costheta - y*sintheta, 
        x*sintheta + y*costheta
    );
}

三、计算几何基础算法

1、线段判交

判断两个线段是否相交，在计算几何算法中有着广泛的应用，两个线段的相交情况有如下三种：

图三-1-1 * 这里用枚举来代表三种线段的相交关系：

enum SegCrossType {
    
    
    SCT_NONE = 0,          // 不相交
    SCT_CROSS = 1,         // 相交于内部
    SCT_ENDPOINT_ON = 2,   // 其中一条线段的端点在另一条上
};

并且定义线段的数据结构如下：

class Segment2D {
    
    
    Point2D s, t;
public:
    ...
};

1）相交于内部

首先对于两个线段，选取其中一个线段作为向量，另外一个线段的两端点作为测验点，如果这两个测验点在向量两边，那么可以肯定，这两个线段一定是不相交的（检测是否在向量两边可以用上文提到的叉乘），如图三-1-2所示：
图三-1-2
然后，选取另外一个线段向量作为向量重复同样的测验；
如果两次测验都满足在向量两边，则这两个线段必然有交点；
这种测验被称为 跨立测验， c++ 代码实现如下：

Type Segment2D::cross(const Point2D& p) const {
    
    
    return (p - s).X(t - s);
}
bool Segment2D::lineCross(const Segment2D& other) const {
    
    
    return threeValue(cross(other.s)) * threeValue(cross(other.t)) == -1;
}

cross实现的是点 $p$ 在向量 $t - s$ 的哪边；
lineCross判断两个点是否在向量的两边（通过取三值函数后，相乘为 -1 来实现）；

图三-1-3 * 最后，需要两次跨立测验都成立，才算满足线段相交的条件，如图三-1-3所示；

2）相交于端点

当一个线段的端点 P 在另一个线段 (S, T) 上时，只有三种情况：
1）P = S;
2）P = T；
3）∠SPT = 180°；
利用叉乘和点乘进行组合判断即可，代码实现如下：

bool Segment2D::pointOn(const Point2D& p) const {
    
    
    // 满足两个条件：
    //  1.叉乘为0，    (p-s)×(t-s) == 0
    //  2.点乘为-1或0，(p-s)*(p-t) <= 0
    return cross(p) == 0 && (p - s)*(p - t) <= 0;
}

然后对四个点分别进行端点相交判断；

3）线段判交实现

两次跨立测验和四次端点测验，实现如下：

SegCrossType Segment2D::segCross(const Segment2D& other) {
    
    
    if (this->lineCross(other) && other.lineCross(*this)) {
    
    
        // 两次跨立都成立，则必然相交与一点
        return SCT_CROSS;
    }
    // 任意一条线段的某个端点是否在其中一条线段上，四种情况
    if (pointOn(other.s) || pointOn(other.t) ||
        other.pointOn(s) || other.pointOn(t)) {
    
    
        return SCT_ENDPOINT_ON;
    }
    return SCT_NONE;
}

2、多边形面积

多边形的面积可以通过将多边形进行三角剖分后，计算每个三角形的面积加和后得到，如图三-2-1所示：
图三-2-1
求三角形面积采用叉乘来实现；
C++代码实现如下：

struct Polygon {
    
    
    int n;
    Point2D p[MAXP];
    double area();
};
double Polygon::area() {
    
    
    double sum = 0;
    p[n] = p[0];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum += p[i].X(p[i + 1]);
    return sum / 2;
}

这里的点是按照 $p [0]$ 进行极角排序的，并且保证 $p [n] = p [0]$ ；
如果点是按照顺时针排序，或者凹多边形的情况，求出来的面积可能是负数，如果进行输出的时候需要取下绝对值；

3、凸多边形判定

对于一个凸多边形而言，任意一条边作为向量，其它所有的顶点一定是在他的同侧的，所以可以利用这个性质来判断一个多边形是否是凸多边形；
图三-3-1

// 是否凸多边形
bool Polygon::isConvex() {
    
    
    bool s[3] = {
    
     false, false, false };
    p[n] = p[0], p[n + 1] = p[1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        s[threeValue((p[i + 1] - p[i]) * (p[i + 2] - p[i])) + 1] = true;
        // 叉乘有左有右，肯定是凹的
        if (s[0] && s[2]) return false;
    }
    return true;
}

4、点在多边形内判定

通过从无限远的地方引入一个随机点，然后和判定点做一条线段，把多边形的每条边和这条线段做判交检测，如果相交得到的交点数量，如果是奇数，说明在多边形内；如果是偶数，说明不在多边形内；
射线法同样也适用于凹多边形；

5、多边形点的逆时针转换

如果点是按照顺时针排布的，那么利用叉乘计算出来的面积为负数，根据这个特点可以将多边形的点进行反序，代码如下：

// 转成逆时针顺序
void Polygon::convertToCounterClockwise() {
    
    
    if (area() >= 0) {
    
    
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n / 2; ++i) {
    
    
        Point2D tmp = p[i];
        p[i] = p[n - i];
        p[n - i] = tmp;
    }
}

四、计算几何算法和应用

介于篇幅，以下算法只简单进行应用介绍，具体的算法实现将在后续章节进行详细展开。

1、凸包

凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈，它一定是一个凸多边形。
凸包一般用来进行点集筛选，比如求解点集中的最大面积三角形、最大周长三角形，因为这些点一定是在点集的凸包上，可以先进行凸包筛选降低点集数量，减少算法运行时间。

2、旋转卡壳

旋转卡壳一般配合凸包，用来求凸多边形直径（点集的最远点对）、宽、凸多边形间最大距离、凸多边形间最小距离、最小面积外接矩形、最小周长外接矩形等等；

3、半平面交

半平面交一般可以用来求解以下问题：
1、两个多边形的交、并。
2、多边形的核：求解一个区域，使得这个区域内的任意点可以看到给定图形的任意角落。
3、求可以放进凸多边形的最大内接圆。
4、一些线性规划问题。

4、圆和多边形交

将多边形进行三角剖分以后，分别和圆进行求交，转换成三角形和圆相交的问题。

5、最小包围球

最小覆盖圆的三维情况，利用四点确定一个球体，然后判断其它点是否在这个球体中，用随机算法进行优化。

6、模拟退火

模拟退火是一种概率算法，在某个解空间内寻找最优解。比如求解三角形和圆的最大相交面积，寻找最近的最远点等等。

本文所有示例代码均可在以下 github 上找到：github.com/WhereIsHeroFrom/模板/计算几何

在这里插入图片描述

五、计算几何题集整理

点乘

题目链接	难度	解析
HDU 2080 夹角有多大II	★☆☆☆☆	点乘

旋转

题目链接	难度	解析
HDU 2438 Turn the corner	★☆☆☆☆	枚举 + 点旋转
HDU 1700 Points on Cycle	★★☆☆☆	点的旋转
HDU 2898 旋转	★★★☆☆	3D点的旋转
HDU 3320 openGL	★★★☆☆	3D点的旋转
HDU 4998 Rotate	★★★★☆	2D点旋转

线段判交

题目链接	难度	解析
HDU 1086 You can Solve a Geometry Problem too	★☆☆☆☆	线段判交
PKU 1127 Jack Straws	★★☆☆☆	线段判交 + 并查集
PKU 2653 Pick-up sticks	★★☆☆☆	线段判交
HDU 3803 gxx’s Problem	★★★★☆	线段判交

多边形面积

题目链接	难度	解析
PKU 1265 Area	★☆☆☆☆	多边形求面积模板
PKU 1654 Area	★☆☆☆☆	多边形求面积模板
HDU 2036 改革春风吹满地	★☆☆☆☆	多边形求面积模板

点在多边形内

题目链接	难度	解析
PKU 1081 You Who?	★☆☆☆☆	判定点在多边形内
PKU 2318 TOYS	★☆☆☆☆	二分 + 判定点在多边形内
PKU 2398 Toy Storage	★☆☆☆☆	二分 + 判定点在多边形内
PKU 1410 Intersection	★★☆☆☆	判定点在多边形内
PKU 3788 Interior Points of Lattice Polygons	★★☆☆☆	判定点在多边形内

凸包

题目链接	难度	解析
PKU 1228 Grandpa’s Estate	★☆☆☆☆	凸包模板
HDU 1348 Wall	★☆☆☆☆	凸包模板
HDU 1392 Surround the Trees	★☆☆☆☆	凸包模板
HDU 2406 Doors and Penguins	★★☆☆☆	凸包+线段判交
PKU 3348 Cows	★★☆☆☆	凸包
HDU 2907 Diamond Dealer	★★★☆☆	凸包
HDU 3285 Convex Hull of Lattice Points	★★★☆☆	凸包
HDU 6325 Interstellar Travel	★★★★☆	凸包
HDU 3021 Tree Fence	★★★★☆	凸包 + DP

旋转卡壳

题目链接	难度	解析
HDU 2202 最大三角形	★☆☆☆☆	旋转卡壳模板
HDU 3934 Summer holiday	★★☆☆☆	凸包 + 旋转卡壳
HDU 5251 矩形面积	★★★☆☆	旋转卡壳
HDU 5784 How Many Triangles	★★★☆☆	旋转卡壳

半平面交

题目链接	难度	解析
PKU 1279 Art Gallery	★★☆☆☆	半平面交
PKU 1474 Video Surveillance	★★☆☆☆	半平面交
PKU 3130 How I Mathematician	★★☆☆☆	半平面交
PKU 2540 Hotter Colder	★★☆☆☆	半平面交
PKU 2451 Uyuw’s Concert	★★☆☆☆	半平面交
PKU 3335 Rotating Scoreboard	★★☆☆☆	半平面交
PKU 3525 Most Distant Point from the Sea	★★★☆☆	半平面交
HDU 1632 Polygons	★★☆☆☆	半平面交
HDU 3060 Area2	★★☆☆☆	半平面交

最小覆盖集

题目链接	难度	解析
ZJU 1450 Minimal Circle	★★★☆☆	最小覆盖圆
HDU 3007 Buried memory	★★★☆☆	最小覆盖圆
HDU 3932 Groundhog Build Home	★★★☆☆	最小覆盖圆
BZOJ 2823 信号塔	★★★☆☆	最小覆盖圆
PKU 2069 Super Star	★★★★☆	最小包围球
HDU 2226 Stars	★★★★☆	最小包围球

模拟退火

题目链接	难度	解析
PKU 1379 Run Away	★★☆☆☆	寻找最远的最近点
PKU 2069 Super Star	★★☆☆☆	寻找最近的最远点（3维）
PKU 2420 A Star not a Tree?	★★☆☆☆	寻找到所有点距离最小的点
PKU 2600 Gemetrical dreams	★★★☆☆	模拟向量旋转
HDU 3932 Groundhog Build Home	★★★★☆	寻找最近的最远点
HDU 3644 A Chocolate Manufacturer’s Problem	★★★★☆	任意简单多边形的最大内接圆
HDU 4717 The Moving Points	★★★★☆	寻找距离最小的最远点对
HDU 5017 Ellipsoid	★★★★☆	曲面最小距离
HDU 3202 Circle and Triangle	★★★★★	三角形和圆的最大相交面积（难题）

夜深人静写算法（四）- 计算几何入门