夜深人静写算法（二十）- 矩阵快速幂

一、引例

【例题一】 $f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ 其中$(n\ge 2)$，求 $f(n)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M(M<=10^9)$；

• 这个数列就是经典的斐波那契数列，读者可以先想一下，如何在时间允许的情况下计算出 $f(n)$ 的值；
• 这节内容非常有意思，由于涉及到一个线性代数里面的结构，它的名字叫 矩阵，如果对大学的内容已经忘得一干二净的话，我们先来复习一些概念，为了避免过程枯燥乏味，所有定义相关的内容，我都会一笔带过，争取尽快达到读者想要观看的内容；

二、矩阵乘法

• 矩阵 $A_{x\times y}$ 和 矩阵 $B_{u\times v}$ 相乘的前提条件是 $y==u$ ，并且相乘后得到的矩阵为 $C_{x\times v}$（即 $A$ 的行和 $B$ 的列构成了矩阵 $C$ 的行列）；
• 例如 $2\times 3$ 的矩阵 $A_{2\times 3}$ 和 $3\times 4$ 的矩阵 $B_{3\times 2}$ 相乘后得到一个 $2\times 2$ 的矩阵$C_{2\times 2}$ （用 $A$ 的每一行去乘上 $B$ 的每一列）；
  $$A_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]B_{3\times 2}=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]$$

$$C_{2\times 2}=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+a_{13}{b}_{31}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}+a_{23}{b}_{31}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}+a_{23}{b}_{32}\end{array}\right]$$

• 了解更多矩阵乘法相关内容，参见：矩阵乘法加速

三、矩阵的幂

1、方阵

• 行数 和 列数 相同的矩阵被称为方阵；
• $A_{m\times m}$ 被称为 $m$ 阶方阵；
• 两个方阵相乘的时间复杂度为 $O(m^3)$；

2、矩阵的幂运算

• 只有方阵才能进行幂运算，矩阵幂运算的定义为连续 $n$ 个矩阵 $A$ 连乘，表示为 $A^n$；
• 矩阵连乘满足递推公式（其中 $I$ 为单位矩阵 ）：
  $$A^n\{\begin{array}{ll}I& n=0\\ A^{n-1}\times A& n>0\end{array}$$
• 若矩阵 $A$ 为 $m$ 阶 方阵，那么这个算法的时间复杂度就是 $O(n{m}^3)$；

四、矩阵快速幂

【例题二】 给定一个 $m(m<=50)$ 阶矩阵，求它的 $n(n<=10^9)$ 次幂的对角线和 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000007$ 的值；
$$A^n={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mm}\end{array}\right]}^n$$

• 核心还是求矩阵的 $n$ 次幂，如果采用简单的连乘来求解，这个时间复杂度是完全无法接受的，我们联想到之前提到的整数的二分快速幂（整数快速幂），对于矩阵也是同样适用的；
  $$A^n=\{\begin{array}{ll}I& n=0\\ (A^{\frac{n-1}{2}}{)}^2\times A& n为奇数\\ (A^{\frac{n}{2}}{)}^2& n为非零偶数\end{array}$$
• 再加上模加、模乘的性质，矩阵同样满足模幂运算，即：
  $$A^n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M=\{\begin{array}{ll}I\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M& n=0\\ (A^{\frac{n-1}{2}}{)}^2\times A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M& n为奇数\\ (A^{\frac{n}{2}}{)}^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M& n为非零偶数\end{array}$$
• 如此一来，对于 $m$ 阶方阵 $A$，时间复杂度就可以降到 $O(m^{3}lo{g}_n)$；
• 模板 C++ 代码：矩阵二分快速幂

五、矩阵快速幂的应用

1、线性递推

1）斐波那契数列

• 还是回到本文开头的那个问题，如何计算斐波那契数列第 $n$ 项模上 $M$ ？
• 相信聪明的读者已经想到了，我们今天的主角是：矩阵 ！
• 我们首先来看递推公式：
  $$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$$
• 然后我们联想到：1 个 $2\times 2$ 的矩阵和 1 个 $2\times 1$ 的矩阵相乘，得到的还是一个 $2\times 1$ 的矩阵 （鬼才能联想到这个啊！！！第一个想出用矩阵的人真 TM 是鬼才！原来 ‘鬼才’ 是这么来的！！！）；
• 首先，利用递推公式填充 列向量 和 矩阵 ：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ ?\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]$$
• 接下来利用列向量的传递性把带有问号的列向量补全，得到：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]$$
• 再把带有问号的系数矩阵补全，得到：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]$$
• 然后进行逐步化简，得到：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-2)\\ f(n-3)\end{array}\right]\\ & =\underset{n-1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdots \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(0)\end{array}\right]\end{array}$$
• 最后，根据矩阵乘法结合律，把前面的矩阵合并，得到：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]& ={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(0)\end{array}\right]\\ & =A^{n-1}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
• 那么对于 【例题一】，只要利用矩阵二分快速幂求得 $A^{n-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$ ，再乘上初始列向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，得到的列向量的第一个元素就是问题的解了；

2）乘法系数

【例题三】 $f(0)=0,f(1)=1,f(n)=af(n-1)+bf(n-2)$ 其中$(n\ge 2)$，求 $f(n)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M(M<=10^9)$；

• 这个问题当 $a=b=1$ 的时候就是斐波那契数列了，参照斐波那契数列的矩阵，可以构造如下系数矩阵：
  $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 0\end{array}\right]$$
• 然后就是求二分快速幂的问题了，并且可以将情况推广到递推项更多的情况，当前项依赖前多少项的值，就构造多少阶的矩阵；对于递推式只和前几项有关，并且带有乘法系数的，可以参考如下构造方式：

构造方法

• 1）构造一个 $k$ 阶零方阵 （$k$ 代表当前项和前面多少项有关）；
• 2）第一行填递推系数；
• 3）左下角放置一个 $k-1$ 阶单位矩阵；

递推公式	系数矩阵
$f(n)=a_{0}f(n-1)$	$\left[\begin{array}{c}{a}_0\end{array}\right]$
$f(n)=a_{0}f(n-1)+a_{1}f(n-2)$	$\left[\begin{array}{cc}{a}_0& a_1\\ 1& 0\end{array}\right]$
$f(n)=a_{0}f(n-1)+a_{1}f(n-2)+a_{2}f(n-3)$	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_0& a_1& a_2\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$
$f(n)=a_{0}f(n-1)+a_{1}f(n-2)+a_{2}f(n-3)+a_{3}f(n-4)$	$\left[\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& a_2& a_3\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

3）加法系数

【例题四】 已知公式：$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n=1)\\ 2& (n=2)\\ f(n-1)+2f(n-2)+n^3& (n>2)\end{array}$$

• 给出 $n$，求 $f(n)\%123456789$；

• 这里的 $n^3$ 是递推公式的加法系数，沿用之前的方法，构造系数矩阵如下：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\end{array}\right]$$

• 这时我们发现无法构造这个矩阵，因为多了一个加法系数，于是将列向量补齐，得到如下：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\\ n^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}?& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\\ (n-1{)}^3\end{array}\right]$$

• 将 $(n-1{)}^3$ 展开后发现还有 $n^2、n$ 以及常数项，这些项无法互相抵消，所以都需要加到列向量中，于是就有了：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\\ n^3\\ n^2\\ n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}?& ?& ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\\ (n-1{)}^3\\ (n-1{)}^2\\ (n-1)\\ 1\end{array}\right]$$

• 根据递推公式构造出系数矩阵后二分求解：
  $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 3& 3& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 3& 1\\ 0& 0& 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2、数列前缀和

• 数列前缀和就是给定一个数列 $f(i)$ 和一个次幂 $k$，求：
  $$S(i)=\sum _{i=1}^{N}f(i{)}^k$$

1）一次幂前缀和

【例题五】 $$T[0]=T[1]=T[2]=1$$ $$T[n]=T[n-1]+T[n-2]+T[n-3](n>=3)$$

• 给定 a 和 b 求 $(T[a]+T[a+1]+...+T[b])\%1,000,000,007$
• 首先，对于求部分和的问题，我们可以转化成前缀和，即：
• 令 $S[n]={\sum }_{i=0}^{n}T[i]$，则 $(T[a]+T[a+1]+...+T[b])=S[b]-S[a-1]$，于是问题转化成求 $S[n]$ 的问题；
• 首先，我们根据递推公式得到：
  $$\begin{array}{rl}S[n]& =\sum _{i=0}^{n}T[i]\\ & =S[n-1]+T[n]\\ & =S[n-1]+T[n-1]+T[n-2]+T[n-3]\end{array}$$
• 于是，我们可以构造如下系数矩阵，并且把上述的递推公式填充到矩阵系数和列向量中：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S[n]\\ ?\\ ?\\ ?\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S[n-1]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\\ T[n-3]\end{array}\right]\end{array}$$
• 接着，利用列向量传递性把参数补全，再利用递推公式补全系数矩阵，如下：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S[n]\\ T[n]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S[n-1]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\\ T[n-3]\end{array}\right]\end{array}$$

2）二次幂前缀和

【例题六】

• $$A(0)=1,A(1)=1$$ $$A(n)=X\ast A(n-1)+Y\ast A(n-2)(n>=2)$$ 求 $$S(n)=\sum _{i=0}^{n}A(i{)}^2$$
• 首先利用递推式，可以得出 $A(n{)}^2$ 的递推式如下：
  $$\begin{array}{rl}A(n{)}^2& =(X\ast A(n-1)+Y\ast A(n-2){)}^2\\ & =X^{2}A(n-1{)}^2+2XYA(n-1)A(n-2)+Y^{2}A(n-2{)}^2\end{array}$$
• $S(n)$ 满足等式：
  $$\begin{array}{rl}S(n)& =S(n-1)+A(n{)}^2\\ & =S(n-1)+X^{2}A(n-1{)}^2+2XYA(n-1)A(n-2)+Y^{2}A(n-2{)}^2\end{array}$$
• 思路还是一样，首先根据递推公式构造列向量和系数矩阵：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(n)\\ ?\\ ?\\ ?\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& X^2& 2XY& Y^2\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ A(n-1{)}^2\\ A(n-1)A(n-2)\\ A(n-2{)}^2\end{array}\right]\end{array}$$
• 然后补充列向量，再根据列向量的递推关系得到完整的系数矩阵：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(n)\\ A(n{)}^2\\ A(n)A(n-1)\\ A(n-1{)}^2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X& Y& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ A(n-1{)}^2\\ A(n-1)A(n-2)\\ A(n-2{)}^2\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}1& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X& Y& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}S(1)\\ A(1{)}^2\\ A(1)A(0)\\ A(0{)}^2\end{array}\right]\\ & =A^{n-1}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

3）K 次幂前缀和

【例题七】
$$F(1)=f_1,F(2)=f_2,F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)$$

• 给定 $f_1、f_2、a、b、n，m，k(k<=50)$，求 ${\sum }_{i=1}^{n}F(i{)}^k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$
• 这个问题就留给聪明的读者吧 ^ _ ^【先想一下，实在想不出来就去看讲解吧：传送门】

3、矩阵 K 次幂前缀和

【例题八】 给出一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 和两个正整数 $k,m$, 求 $S(k)=(A+A^2+A^3+\dots +A^k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$。

• 难度：★★☆☆☆
• 题解：首先，如果 $k$ 为偶数，则 $S(k)$ 满足如下递推式：
  $$\begin{array}{rl}S(k)& =(A+A^2+A^3+\dots +A^k)\\ & =A\ast S(k-1)+A\end{array}$$
• 根据递推式，生成系数矩阵，这里的系数又是一个矩阵：
  $$\left[\begin{array}{c}S(k)\\ ?\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& A\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(k-1)\\ I\end{array}\right]$$
• 最后，填充 ？项，构造的矩阵如下( $A$ 为原矩阵，$O$ 为零矩阵，$I$ 为单位矩阵)：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(k)\\ I\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}A& A\\ O& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(k-1)\\ I\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cc}A& A\\ O& I\end{array}\right]}^{k-1}\left[\begin{array}{c}S(1)\\ I\end{array}\right]\\ & =B^{k-1}\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩阵 $B$ 的阶数为矩阵 $A$ 的两倍，利用矩阵二分求解 $B$ 的 $k-1$ 次幂后再乘上列向量，得到的列向量的上半部分就是所求的 $S(k)$。

4、动态规划配合构造矩阵

1）路径数 - 转化成图

【例题九】 给定一个 $n(n<=100)$ 个顶点的有向图，然后一串询问，求 $a$ 到 $b$ 经过 $k$ $(0<=a,b<n,k<=10^9)$ 步的方案数；

• 令 $f(n,v)$ 为从某个点出发，经过 $n$ 步以后到达 $v$ 的方案数，那么有状态转移如下：
  $$f(n,v)=\{\begin{array}{ll}1& n=0,v=a\\ 0& n=0,v\ne a\\ {\sum }_{}^{u->v}f(n-1,u)& n>0\end{array}$$
• 举个例子，有向图如下：

• 这个图的邻接矩阵如下（$A[u][v]表示u到v有多少条边$）：
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
• 根据状态转移构造出如下矩阵递推关系：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n,0)\\ f(n,1)\\ f(n,2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1,0)\\ f(n-1,1)\\ f(n-1,2)\end{array}\right]$$
• 观察发现系数矩阵和正好是邻接矩阵的转置，于是根据邻接矩阵建立反图，再用 $k$ 次幂二分求解，最后乘上一个列向量，列向量第 $a$ 行为 $1$，其他都为 $0$，得到的列向量的第 $b$ 行就是所求的 $a$ 到 $b$ 经过 $k$ 步 的方案数；

2）数位动态规划

【例题十】 一个由 $1$ 和 $0$ 组成的字符串，任何子串都不能包含 $101和111$，求这样的长度为 $L(L<=10^6)$ 的字符串的种数；

• 令 $f(n,x)$ 表示长度为 $n$，最后三位为 $x$ 的合法字符串方案数；
• 例如 $f(35,100)$ 代表长度为 35，最后三位为 110 的方案数，那么有状态转移方程：
  $$f(35,100)=f(34,010)+f(34,110)$$

• 三位的 ‘01’ 串总共 $8$ 种情况，去掉两种不合法的状态，其他状态的状态转移图如下：

• 通过邻接矩阵构造出转置矩阵作为系数矩阵，求转换成了从 $a$ 点到 $b$ 点经过 $k$ 步的路径数问题了；

5、双变量交换递推

【例题十一】

• 给定 $n(n<=10^9)$，求 $\lfloor (\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{2n}\rfloor \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1024$
• 首先，令$f(n)={(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2n}=(5+2\sqrt{6}{)}^n$，无论 n 多大，一定可以表示成 $f(n)=A_n+B_n\sqrt{6}$，则有如下递推式：
  $$\begin{array}{rl}f(n)& =A_n+B_n\sqrt{6}\\ & =(A_{n-1}+B_{n-1}\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})\\ & =(5A_{n-1}+12B_{n-1})+(2A_{n-1}+5B_{n-1})\sqrt{6}\end{array}$$
• 表示成矩阵的形式如下：
  $$\left[\begin{array}{c}{A}_n\\ B_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 12\\ 2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{n-1}\\ B_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}5& 12\\ 2& 5\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$$
  又由于 $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=1$，得到 $(5+2\sqrt{6}{)}^n(5-2\sqrt{6}{)}^n=1$，则 $(A_n+B_n\sqrt{6})(A_n-B_n\sqrt{6})=1$，得到：
  $$6B_n^2=A_n^2-1$$，从而推导出$$B_n\sqrt{6}=\sqrt{A_n^2-1}$$，于是 $B_n\sqrt{6}$ 的整数部分就是 $A_n-1$，所以我们要求的答案就是 $(2A_n-1)\%1024$，矩阵求解 $A_n$；

6、扩展欧拉定理配合降幂

【例题十二】 $F(0)=a,F(1)=b,F(n)=F(n-1)\ast F(n-2)(n>1)，给定a、b、n(n<=10^9)，求F(n)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000000007$

• 根据递推公式容易得到 $F(n)=a^{f(n-2)}{b}^{f(n-1)}$，其中 $f(0)=f(1)=1$，且满足 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，即斐波那契数列；

• 令 $G(n,k)=k^{f(n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000000007$，那么我们只需要求出 $G(n,k)$ 就可以求得原式的解；

• 扩展欧拉定理
  $$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=\{\begin{array}{ll}{a}^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (c)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c& gcd(a,c)=1\\ a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c& gcd(a,c)\ne 1，b<\phi (c)\\ a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (c)+\phi (c)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c& gcd(a,c)\ne 1，b>=\phi (c)\end{array}$$

• 当 $f(n)<\phi (1000000007)$ 说明 n 比较小，直接求递推求出来即可；

• 当 $f(n)>=\phi (1000000007)$ 时，根据扩展欧拉定理，得到：
  $$\begin{array}{rl}G(n,k)& =k^{f(n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000000007\\ & =k^{f(n)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (1000000007)+\phi (1000000007)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000000007\end{array}$$

• $f(n)$ 是最基本的斐波那契数列，直接用矩阵二分求解即可；

7、其他算法配合矩阵优化

1）循环节降幂

• 对于矩阵 $A$，要求 $A^k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$，如果 $M$ 比较小，可以暴力计算出 $A^t\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M=I$，这里的 $t$ 就是矩阵循环节，然后就有：
  $$A^k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M=A^{(k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}t)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$$

2）AC自动机

• 利用 AC 自动机 构造 trie 图，并且在 trie 图上进行矩阵二分；

3）搜索

• 利用搜索 $（BFS/DFS）$ 枚举所有状态转移的情况，然后进行矩阵二分；

六、矩阵快速幂题集整理

题目链接	难度	算法简介
HDU 1575 Tr A	★☆☆☆☆	矩阵快速幂 - 模板题
POJ 3070 Fibonacci	★☆☆☆☆	矩阵快速幂 - 线性递推 - 模板题
HDU 2157 How many ways??	★☆☆☆☆	矩阵乘法计算路径数 - 模板题
HDU 1757 A Simple Math Problem	★☆☆☆☆	线性递推 - 模板题
POJ 2118 Firepersons	★☆☆☆☆	线性递推
POJ 3233 Matrix Power Series	★★☆☆☆	矩阵 K 次幂前缀和 - 模板题
HDU 5015 233 Matrix	★★☆☆☆	线性递推
HDU 6470 Count	★★☆☆☆	线性递推
HDU 4686 Arc of Dream	★★☆☆☆	线性递推
HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2	★★☆☆☆	位运算 + 矩阵快速幂
HDU 2604 Queue	★★☆☆☆	简单动态规划 + 矩阵快速幂
Lucky Coins Sequence	★★☆☆☆	简单动态规划 + 矩阵快速幂
POJ 3734 Blocks	★★☆☆☆	简单动态规划 + 矩阵快速幂
HDU 2065 "红色病毒"问题	★★☆☆☆	简单动态规划 + 矩阵快速幂
HDU 2793 Sum of Tribonacci Numbers	★★☆☆☆	矩阵快速幂求数列前缀和
Tower	★★☆☆☆	矩阵快速幂求数列次幂前缀和
HDU 3306 Another kind of Fibonacci	★★☆☆☆	矩阵快速幂求数列次幂前缀和
HDU 3096 Life Game	★★★☆☆	动态规划 + 矩阵快速幂
HDU 2256 Problem of Precision	★★★☆☆	双变量交换递推
HDU 3292 No more tricks, Mr Nanguo	★★★☆☆	双变量交换递推
HDU 6030 Happy Necklace	★★★☆☆	动态规划 + 矩阵快速幂
POJ 3735 Training little cats	★★★☆☆	根据规则进行矩阵构造
HDU 5895 Mathematician QSC	★★★☆☆	扩展欧拉定理 + 矩阵快速幂求数列次幂前缀和
HDU 4549 M斐波那契数列	★★★☆☆	扩展欧拉定理 + 矩阵快速幂
HDU 2254 奥运	★★★☆☆	哈希表 + 矩阵 K 次幂前缀和
HDU 1588 Gauss Fibonacci	★★★☆☆	矩阵 K 次幂前缀和
HDU 3936 FIB Query	★★★☆☆	矩阵 K 次幂前缀和
HDU 2294 Pendant	★★★☆☆	动态规划 + 矩阵次幂前缀和
HDU 2238 机器人的舞蹈II	★★★☆☆	DFS + 矩阵快速幂
HDU 2842 Chinese Rings	★★★☆☆	BFS + 矩阵快速幂
HDU 5451 Best Solver	★★★☆☆	矩阵循环节 + 双变量交换递推
HDU 3658 How many words	★★★☆☆	容斥原理 + 矩阵快速幂
HDU 5607 graph	★★★☆☆	逆元 + 矩阵求路径数
HDU 1977 Odd Loving Bakers	★★★★☆	奇数的性质 + 矩阵快速幂
HDU 4291 A Short problem	★★★★☆	矩阵循环节 + 矩阵快速幂
HDU 3483 A Very Simple Problem	★★★★☆	二项式定理 + 矩阵前缀和
HDU 3509 Buge’s Fibonacci Number Problem	★★★★☆	二项式定理 + 矩阵前缀和
HDU 2855 Fibonacci Check-up	★★★★☆	二项式定理 + 矩阵前缀和
HDU 5986 Fibonacci	★★★★★	矩阵循环节 + 矩阵快速幂
HDU 6755 Fibonacci Sum	★★★★★	二次剩余 + 费马小定理 + 斐波那契数列通项公式 + 二分快速幂