2020年A组决赛

2020年A组决赛

A: 合数个数

【问题描述】
一个数如果除了 1 和自己还有其他约数，则称为一个合数。例如：1, 2, 3
不是合数，4, 6 是合数。
请问从 1 到 2020 一共有多少个合数。

B: 含 2 天数

【问题描述】
小蓝特别喜欢 2，今年是公元 2020 年，他特别高兴，因为每天日历上都可
以看到 2。
如果日历中只显示年月日，请问从公元 1900 年 1 月 1 日到公元 9999 年 12
月 31 日，一共有多少天日历上包含 2。即有多少天中年月日的数位中包含数字
2。

C: 本质上升序列

【问题描述】
小蓝特别喜欢单调递增的事物。
在一个字符串中，如果取出若干个字符，将这些字符按照在字符串中的顺
序排列后是单调递增的，则成为这个字符串中的一个单调递增子序列。
例如，在字符串 lanqiao 中，如果取出字符 n 和 q，则 nq 组成一个单
调递增子序列。类似的单调递增子序列还有 lnq、i、ano 等等。
小蓝发现，有些子序列虽然位置不同，但是字符序列是一样的，例如取第
二个字符和最后一个字符可以取到 ao，取最后两个字符也可以取到 ao。小蓝
认为他们并没有本质不同。
对于一个字符串，小蓝想知道，本质不同的递增子序列有多少个？
例如，对于字符串 lanqiao，本质不同的递增子序列有 21 个。它们分别
是 l、a、n、q、i、o、ln、an、lq、aq、nq、ai、lo、ao、no、io、lnq、
anq、lno、ano、aio。
请问对于以下字符串（共 200 个小写英文字母，分四行显示）：（如果你把
以下文字复制到文本文件中，请务必检查复制的内容是否与文档中的一致。在
试题目录下有一个文件 inc.txt，内容与下面的文本相同）
tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhf
iadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqij
gihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmad
vrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl
本质不同的递增子序列有多少个？

D: 咫尺天涯

【问题描述】
皮亚诺曲线是一条平面内的曲线。
下图给出了皮亚诺曲线的 1 阶情形，它是从左下角出发，经过一个 3×3 的
方格中的每一个格子，最终到达右上角的一条曲线。

设每个格子的边长为 1，在上图中，有的相邻的方格（四相邻）在皮亚诺
曲线中也是相邻的，在皮亚诺曲线上的距离是 1，有的相邻的方格在皮亚诺曲
线中不相邻，距离大于 1。
例如，正中间方格的上下两格都与它在皮亚诺曲线上相邻，距离为 1，左
右两格都与它在皮亚诺曲线上不相邻，距离为 3。
下图给出了皮亚诺曲线的 2 阶情形，它是经过一个 3 2 × 3 2 的方格中的每一
个格子的一条曲线。它是将 1 阶曲线的每个方格由 1 阶曲线替换而成。

下图给出了皮亚诺曲线的 3 阶情形，它是经过一个 3 3 × 3 3 的方格中的每一
个格子的一条曲线。它是将 2 阶曲线的每个方格由 1 阶曲线替换而成。

皮亚诺曲线总是从左下角开始出发，最终到达右上角。
小蓝对于相邻的方格在皮亚诺曲线上的相邻关系很好奇，他想知道相邻的
方格在曲线上的距离之和是多少。
例如，对于 1 阶皮亚诺曲线，距离和是 24，有 8 对相邻的方格距离为 1，
2 对相邻的方格距离为 3，2 对相邻的方格距离为 5。
再如，对于 2 阶皮亚诺曲线，距离和是 816。
请求出对于 12 阶皮亚诺曲线，距离和是多少。
提示：答案不超过 10^18 。

E: 玩具蛇

【问题描述】
小蓝有一条玩具蛇，一共有 16 节，上面标着数字 1 至 16。每一节都是一
个正方形的形状。相邻的两节可以成直线或者成 90 度角。
小蓝还有一个 4×4 的方格盒子，用于存放玩具蛇，盒子的方格上依次标着
字母 A 到 P 共 16 个字母。
小蓝可以折叠自己的玩具蛇放到盒子里面。他发现，有很多种方案可以将
玩具蛇放进去。
下图给出了两种方案：

请帮小蓝计算一下，总共有多少种不同的方案。如果两个方案中，存在玩
具蛇的某一节放在了盒子的不同格子里，则认为是不同的方案。

F_皮亚诺曲线距离

皮亚诺曲线是一条平面内的曲线。
下图给出了皮亚诺曲线的 1 阶情形，它是从左下角出发，经过一个 3×3 的
方格中的每一个格子，最终到达右上角的一条曲线。

下图给出了皮亚诺曲线的 2 阶情形，它是经过一个 3^2 × 3^2 的方格中的每一
个格子的一条曲线。它是将 1 阶曲线的每个方格由 1 阶曲线替换而成。

下图给出了皮亚诺曲线的 3 阶情形，它是经过一个 3^3 × 3^3 的方格中的每一
个格子的一条曲线。它是将 2 阶曲线的每个方格由 1 阶曲线替换而成。

皮亚诺曲线总是从左下角开始出发，最终到达右上角。
我们将这些格子放到坐标系中，对于 k 阶皮亚诺曲线，左下角的坐标是
(0,0)，右上角坐标是 (3^k − 1,3^k − 1)，右下角坐标是 (3^k − 1,0)，左上角坐标是
(0,3^k − 1)。
给定 k 阶皮亚诺曲线上的两个点的坐标，请问这两个点之间，如果沿着皮
亚诺曲线走，距离是到少？

【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 k，皮亚诺曲线的阶数。
第二行包含两个整数 x1 , y1 ，表示第一个点的坐标。
第三行包含两个整数 x2 , y2 ，表示第二个点的坐标。
【输出格式】
输出一个整数，表示给定的两个点之间的距离。
【样例输入】
1
0 0
2 2
【样例输出】
8
【样例输入】
2
0 2
0 3
【样例输出】
13
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，0 ≤ k ≤ 10。
对于 50% 的评测用例，0 ≤ k ≤ 20。
对于所有评测用例，0 ≤ k ≤ 100, 0 ≤ x 1 ,y 1 , x 2 ,y 2 < 3^k , x 1 ,y 1 , x 2 ,y 2 ≤ 10^18 。
数据保证答案不超过 10^18 。

G_出租车

【问题描述】
小蓝在 L 市开出租车。
L 市的规划很规整，所有的路都是正东西向或者正南北向的，道路都可以
看成直线段。东西向的道路互相平行，南北向的道路互相平行，任何一条东西
向道路垂直于任何一条南北向道路。
从北到南一共有 n 条东西向道路，依次标号为 H 1 , H 2 , ···, H n 。从西到东
一共有 m 条南北向的道路，依次标号为 S 1 , S 2 , ···, S m 。
每条道路都有足够长，每一条东西向道路和每一条南北向道路都相交，H i
与 S j 的交叉路口记为 (i, j)。
从 H 1 和 S 1 的交叉路口 (1,1) 开始，向南遇到的路口与 (1,1) 的距离分别
是 h 1 , h 2 , ···, h n−1 ，向东遇到路口与 (1,1) 的距离分别是 w 1 , w 2 , ···, w m−1 。
道路的每个路口都有一个红绿灯。
时刻 0 的时候，南北向绿灯亮，东西向红灯亮，南北向的绿灯会持续一段
时间（每个路口不同），然后南北向变成红灯，东西向变成绿灯，持续一段时间
后，再变成南北向绿灯，东西向红灯。
已知路口 (i, j) 的南北向绿灯每次持续的时间为 g ij ，东西向的绿灯每次持
续的时间为 r ij ，红绿灯的变换时间忽略。
当一辆车走到路口时，如果是绿灯，可以直行、左转或右转。如果是红灯，
可以右转，不能直行或左转。如果到路口的时候刚好由红灯变为绿灯，则视为
看到绿灯，如果刚好由绿灯变为红灯，则视为看到红灯。
每段道路都是双向道路，道路中间有隔离栏杆，在道路中间不能掉头，只
能在红绿灯路口掉头。掉头时不管是红灯还是绿灯都可以直接掉头。掉头的时
间可以忽略。
小蓝时刻 0 从家出发。今天，他接到了 q 个预约的订单，他打算按照订单
的顺序依次完成这些订单，就回家休息。中途小蓝不准备再拉其他乘客。
小蓝的家在两个路口的中点，小蓝喜欢用 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 来表示自己家的位
置，即路口 (x 1 ,y 1 ) 到路口 (x 2 ,y 2 ) 之间的道路中点的右侧，保证两个路口相邻
（中间没有其他路口）。请注意当两个路口交换位置时，表达的是路的不同两边，
路中间有栏杆，因此这两个位置实际要走比较远才能到达。
小蓝的订单也是从某两个路口间的中点出发，到某两个路口间的中点结束。
小蓝必须按照给定的顺序处理订单，而且一个时刻只能处理一个订单，不能图
省时间而同时接两位乘客，也不能插队完成后面的订单。
小蓝只对 L 市比较熟，因此他只会在给定的 n 条东西向道路和 m 条南北向
道路上行驶，而且不会驶出 H 1 , H n , S 1 , S m 这几条道路所确定的矩形区域（可
以到边界）。
小蓝行车速度一直为 1，乘客上下车的时间忽略不计。
请问，小蓝最早什么时候能完成所有订单回到家。

【输入格式】
输入第一行包含两个整数 n, m，表示东西向道路的数量和南北向道路的数
量。
第二行包含 n − 1 个整数 h 1 , h 2 , ···, h n−1 。
第三行包含 m − 1 个整数 w 1 , w 2 , ···, w m−1 。
接下来 n 行，每行 m 个整数，描述每个路口南北向绿灯的时间，其中的第
i 行第 j 列表示 g ij 。
接下来 n 行，每行 m 个整数，描述每个路口东西向绿灯的时间，其中的第
i 行第 j 列表示 r ij 。
接下来一行包含四个整数 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ，表示小蓝家的位置在路口 (x 1 ,y 1 )
到路口 (x 2 ,y 2 ) 之间的道路中点的右侧。
接下来一行包含一个整数 q，表示订单数量。
接下来 q 行，每行描述一个订单，其中第 i 行包含八个整数 x i1 , y i1 , x i2 , y i2 ,
x i3 , y i3 , x i4 , y i4 ，表示第 i 个订单的起点为路口 (x i1 ,y i1 ) 到路口 (x i2 ,y i2 ) 之间的道
路中点的右侧，第 i 个订单的终点为路口 (x i3 ,y i3 ) 到路口 (x i4 ,y i4 ) 之间的道路中
点的右侧。

【输出格式】
输出一个实数，表示小蓝完成所有订单最后回到家的最早时刻。四舍五入
保留一位小数。
【样例输入】
2 3
200
100 400
10 20 10
20 40 30
20 20 20
20 20 20
2 1 1 1
1
2 2 1 2 1 2 1 3
【样例输出】
1620.0
【样例说明】
小蓝有一个订单，他的行车路线如下图所示。其中 H 表示他家的位置，S
表示订单的起点，T 表示订单的终点。小明在最后回家时要在直行的红绿灯路
口等绿灯，等待时间为 20。

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ n,m ≤ 5，1 ≤ q ≤ 10。
对于 50% 的评测用例，1 ≤ n,m ≤ 30，1 ≤ q ≤ 30。
对于所有评测用例，1 ≤ n,m ≤ 100，1 ≤ q ≤ 30，1 ≤ h 1 < h 2 < ··· < h n−1 ≤
100000，1 ≤ w 1 < w 2 < ··· < w m−1 ≤ 100000，1 ≤ g ij ≤ 1000，1 ≤ r ij ≤ 1000，给
定的路口一定合法。

H_答疑

【问题描述】
有 n 位同学同时找老师答疑。每位同学都预先估计了自己答疑的时间。
老师可以安排答疑的顺序，同学们要依次进入老师办公室答疑。
一位同学答疑的过程如下：
1. 首先进入办公室，编号为 i 的同学需要 s_i 毫秒的时间。
2. 然后同学问问题老师解答，编号为 i 的同学需要 a_i 毫秒的时间。
3. 答疑完成后，同学很高兴，会在课程群里面发一条消息，需要的时间可
以忽略。
4. 最后同学收拾东西离开办公室，需要 e_i 毫秒的时间。一般需要 10 秒、
20 秒或 30 秒，即 e i 取值为 10000，20000 或 30000。
一位同学离开办公室后，紧接着下一位同学就可以进入办公室了。
答疑从 0 时刻开始。老师想合理的安排答疑的顺序，使得同学们在课程群
里面发消息的时刻之和最小。

【输入格式】
输入第一行包含一个整数 n，表示同学的数量。
接下来 n 行，描述每位同学的时间。其中第 i 行包含三个整数 s_i , a_i , e_i ，意
义如上所述。
【输出格式】
输出一个整数，表示同学们在课程群里面发消息的时刻之和最小是多少。
【样例输入】
3
10000 10000 10000
20000 50000 20000
30000 20000 30000
【样例输出】
280000
【样例说明】
按照 1, 3, 2 的顺序答疑，发消息的时间分别是 20000, 80000, 180000。
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 20。
对于 60% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 200。
对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ s_i ≤ 60000，1 ≤ a_i ≤ 1000000，
e_i ∈ {10000,20000,30000}，即 e_i 一定是 10000、20000、30000 之一。

I: 奇偶覆盖

【问题描述】
在平面内有一些矩形，它们的两条边都平行于坐标轴。
我们称一个点被某个矩形覆盖，是指这个点在矩形的内部或者边界上。
请问，被奇数个矩形覆盖和被偶数 (≥ 2) 个矩形覆盖的点的面积分别是多
少？
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n，表示矩形的个数。
接下来 n 行描述这些矩形，其中第 i 行包含四个整数 l i , b i , r i , t i ，表示矩形
的两个对角坐标分别为 (l i ,b i ), (r i ,t i )。

【输出格式】
输出两行。
第一行包含一个整数，表示被奇数个矩形覆盖的点的面积。
第二行包含一个整数，表示被偶数 (≥ 2) 个矩形覆盖的点的面积。
【样例输入】
3
1 1 3 3
2 2 4 4
3 3 5 5
【样例输出】
8
2
【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 10, 0 ≤ l i < r i ≤ 100, 0 ≤ b i < t i ≤ 100。
对于 40% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000, 0 ≤ l i < r i ≤ 100, 0 ≤ b i < t i ≤ 100。
对于 60% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000, 0 ≤ l i < r i ≤ 1000, 0 ≤ b i < t i ≤ 1000。
对于 80% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ l i < r i ≤ 100000, 0 ≤ b i < t i ≤
100000。
对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ l i < r i ≤ 10^9 , 0 ≤ b i < t i ≤ 10^9 。

J: 蓝跳跳

【问题描述】
小蓝制作了一个机器人，取名为蓝跳跳，因为这个机器人走路的时候基本
靠跳跃。
蓝跳跳可以跳着走，也可以掉头。蓝跳跳每步跳的距离都必须是整数，每
步可以跳不超过 k 的长度。由于蓝跳跳的平衡性设计得不太好，如果连续两次
都是跳跃，而且两次跳跃的距离都至少是 p，则蓝跳跳会摔倒，这是小蓝不愿
意看到的。
小蓝接到一个特别的任务，要在一个长为 L 舞台上展示蓝跳跳。小蓝要控
制蓝跳跳从舞台的左边走到右边，然后掉头，然后从右边走到左边，然后掉头，
然后再从左边走到右边，然后掉头，再从右边走到左边，然后掉头，如此往复。
为了让观者不至于太无趣，小蓝决定让蓝跳跳每次用不同的方式来走。小
蓝将蓝跳跳每一步跳的距离记录下来，按顺序排成一列，显然这一列数每个都
不超过 k 且和是 L。这样走一趟就会出来一列数。如果两列数的长度不同，或
者两列数中存在一个位置数值不同，就认为是不同的方案。
请问蓝跳跳在不摔倒的前提下，有多少种不同的方案从舞台一边走到另一
边。

【输入格式】
输入一行包含三个整数 k, p, L。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以 20201114 的余
数。
【样例输入】
3 2 5
【样例输出】
9
【样例说明】
蓝跳跳有以下 9 种跳法：
1. 1+1+1+1+1
2. 1+1+1+2
3. 1+1+2+1
4. 1+2+1+1
5. 2+1+1+1
6. 2+1+2
7. 1+1+3
8. 1+3+1
9. 3+1+1
【样例输入】
5 3 10
【样例输出】
397
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 ≤ p ≤ k ≤ 50，1 ≤ L ≤ 1000。
对于 60% 的评测用例，1 ≤ p ≤ k ≤ 50，1 ≤ L ≤ 10^ 9 。
对于 80% 的评测用例，1 ≤ p ≤ k ≤ 200，1 ≤ L ≤ 10^18 。
对于所有评测用例，1 ≤ p ≤ k ≤ 1000，1 ≤ L ≤ 10^ 18 。