初学树状数组（BIT）

初学树状数组（BIT）

菜鸟来学习树状数组了（耶）
还是从一个经典的问题引入吧

问题

对于一个长度为n的数列，有如下两种操作：
1.将元素ak加上x
2.查询任意一段区间的和。
（当然，两种操作都要进行多次）
在上面的问题中，其实只要能求到a1+a2+…的值，就可以解决问题了

为什么要有树状数组

（以下纯粹为个人意会，如有误，轻喷）

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对于任意一个数字，我们都可以将其表示为2的幂次的和的形式，而且这种表示唯一。原因：任意一个十进制数都可以表示为唯一 一个二进制数。
比如，我们想求出a1+a2+…+a16
又想求出a1+a2+…+a19
常规的，我们一个一个加过去，时间复杂度为O（n），如果要做很多次这种操作，时间话费就很大
但是，我们知道，16=2^4 ,19=2^4 +2^1 +2^0
那么，假设我们知道a1+a2+…+a16、a17+a18、a19的值，并且存下来，那么，求和是不是会快很多？（logn级别的）
那你也许会问：为什么不是保存a1,a2+a3,a4+a5+…+a19呢？
因为这样没法统一啊。比如说这样你就没法求a1+a2+…+a16。
于是，lowbit和树状数组就诞生了。

lowbit函数

#define lowbit(x) ((x)&-(x))
(x是正整数)

这个函数实际上是寻找x的二进制表示中最低位的1出现的位置。（补码）

x	1 2 3 4 5 6 7 8 9
x的二进制	1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
lowbit(x)	1 2 1 4 1 2 1 8 1

tree[1]的值	a1
tree[2]的值	a1+a2
tree[3]的值	a3
tree[4]的值	a1+a2+a3+a4
tree[5]的值	a5
tree[6]的值	a5+a6
tree[7]的值	a7
tree[8]的值	a1+a2+…+a8

这样安排tree数组是和lowbit相对应的（看tree中项的个数）。不得不说安排很巧妙。当然这只是编程技巧罢了。

void add(int x,int d)
{
    
    
    while(x<=n)///n是数组中元素个数
    {
    
    
        tree[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int sum(int x)
{
    
    
    int ans=0;
    while(x>0)
    {
    
    
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

add

add函数用在初始化tree数组和更新tree中元素。最后代码其实是不用一个叫a[]的数组来存元素的，直接用tree存就好了。
比如说读入第三个数字为4（或者把第三个数字加四）.调用add(3,4)
那么，tree[3]肯定被更新为4了（tree[3]+=4）
通过x+=lowbit(x)，可以把所有含有a3项的tree数组内容都更新了（实在是妙啊）

sum

sum的思路就是十进制数表示成2的幂次的思路。具体不再详细说明

大抵难点如上。（剩下的就是刷题了。。。）