【动态规划】46题-把数字翻译成字符串

1 题目描述

给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

示例1：

输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"

提示：

0 <= num < 2^31

2 解题思路

动态规划

首先我们来通过一个例子理解一下这里翻译的过程：我们来尝试翻译1402。

分成两种情况：

• 首先我们可以把每一位单独翻译，即1，4，0，2，翻译的结果是beac；
• 然后我们考虑组合某些连续的两位：
  • 14，0，2，翻译的结果是oac。
  • 1，40，2，这种情况是不合法的，因为40不能翻译成任何字母。
  • 1，4，02，这种情况也是不合法的，含有前导零的两位数不在题目规定的翻译规则中，那么14，02显然也是不合法的。

那么我们可以归纳出翻译的规则，字符串的第i位置：

• 可以单独作为一位来翻译；
• 如果第i-1位和第i位组成的数字在10到25之间，可以把这两位连起来翻译。

我们可以用f(i)表示以第i位结尾的前缀串翻译的方案数，考虑第i位单独翻译和与前一位连接起来再翻译对f(i)的贡献。单独翻译对f(i)的贡献为f(i-1)；如果第i-1位和第i位形成的数字x满足$10\le x\le 25$，那么就可以把第i-1位和第i位连起来一起翻译，对f(i)的贡献为f(i-2)，否则为0。我们可以列出这样的动态规划转移方程：
$f(i)=f(i-1)+f(i-2)[i-1\ge 0,10\le x\le 25]$
边界条件是f(-1)=0，f(0)=1。方程中[c]的意思是c为真的时候[c]=1，否则[c]=0。

有了这个方程我们不难给出一个时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)的实现。考虑优化空间复杂度：这里的f(i)只和它的前两项f(i-1)和f(i-2)相关，我们可以运用滚动数组思想把f数组压缩成三个变量，这样空间复杂度就变成了O(1)。

class Solution {
    
    
    public int translateNum(int num) {
    
    
        String str = String.valueOf(num);
        int p = 0; //f(i-2)
        int q = 0; //f(i-1)
        int r = 1; //f(i)
        for (int i = 0;i < str.length();i++) {
    
    
            p = q;
            q = r;
            r = 0;
            r += q;
            if (i == 0) continue;
            String tmp = str.substring(i-1,i+1);
            if (tmp.compareTo("10") >= 0 && tmp.compareTo("25") <= 0) r += p;
        }
        return r;
    }
}

复杂度分析：
记 num=n。

• 时间复杂度：循环的次数是 n 的位数，故渐进时间复杂度为 O(logn)。
• 空间复杂度：虽然这里用了滚动数组，动态规划部分的空间代价是 O(1) 的，但是这里用了一个临时变量把数字转化成了字符串，故渐进空间复杂度也是 O(logn)。