用LMI工具箱描述一个线性矩阵不等式系统

1、标准格式

代码	注解
setlmis([])	定义一个矩阵不等式系统
X=lmivar(type,struct)	定义一个矩阵变量
lmiterm([1 1 1 X], 1, 1)	描述某个LMI不等式的某一项
lmisys=getlmis	矩阵不等式系统定义完毕

2、lmivar函数用法

X=lmivar(type,struct)	用于定义矩阵变量

①type=1----------定义对称块对角结构矩阵变量

就是形如： $\begin{pmatrix} D_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & D_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & D_{r} \end{pmatrix}$
如果 $D_{1}$ 是一个满的5x5对称矩阵， $D_{2}$ 和 $D_{r}$ 分别是一个1x1、3x3数量矩阵，则需要定义为： $X = l m i v a r (1, [51; 10; . . .; 30])$
其中，1代表 $D_{1}$ 是一个满的对称矩阵，0代表 $D_{2}$ 和 $D_{r}$ 是数量矩阵，-1代表是一个零矩阵，前面的数字则代表维度是几x几。

②type=2----------定义长方形结构矩阵变量

struct=[m,n]表示矩阵的维度。
例如 $X = l m i v a r (2, [24])$ 定义了一个2x4的矩阵变量X

③type=3----------定义其它结构矩阵变量

暂不考虑此类情况

3、lmiterm函数用法

举例： $\begin{pmatrix} A^TX+XA+C^TSC & XB\\ B^TX & -S\end{pmatrix}<0$ $X > 0$ $S > I$
以上有三个LMI不等式，需要分别描述。

①第一个不等式描述为：

$l m i t e r m ([111 X], 1, A,^{'} s^{'})$ $l m i t e r m ([111 S], C^{'}, C)$ $l m i t e r m ([112 X], 1, B)$ $l m i t e r m ([122 S], - 1, 1)$
中括号里第一个数字代表第几个LMI不等式，正代表在不等号的小于号左边，负代表在不等号的小于号右边；第二、三个数字代表矩阵的第几行第几列，第四个变量代表所描述的变量，中括号后面的两个数字或矩阵代表变量的左系数和右系数，最后一个s代表转置的意思，是可选项。

因此，第一句代码代表：第一个LMI不等式第一行第一列的XA+(XA)’；第二句代码代表：第一个LMI不等式第一行第一列的C’SC；第三句代码代表：第一个LMI不等式第一行第二列的XB；第四句代码代表：第一个LMI不等式第二行第二列的-S。

②第二个不等式描述为：

$l m i t e r m ([- 211 X], 1, 1)$
这是第二个不等式，所以中括号第一个数字是2，同时由于X在小于号的右边，所以用-2。

③第三个不等式描述为：

$l m i t e r m ([- 311 S], 1, 1)$ $l m i t e r m ([3110], 1)$
这是第三个不等式，所以中括号第一个数字是3，同时由于S在小于号的右边，所以用-3。因此，第一句代码代表：第三个LMI不等式小于号右边的S；第二句代码代表：第三个LMI不等式小于号左边的单位矩阵。

MATLAB-LMI工具箱学习笔记