MATLAB-LMI工具箱学习笔记（二）

LMI工具箱一般用于求解三类问题

1、可行解问题

寻找一个$x\in R^N$，使得$A(x)<B(x)$成立。

该问题可转化为：

寻找一个最小的t，使得$A(x)-B(x)\le tI$成立，即：$$mint$$$$s.t.A(x)-B(x)\le tI$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[tmin, xfeas]=feasp(lmisys, options, target)

其中，tmin代表凸优化问题的全局最优值。如果tmin<0，则该问题有可行解；如果tmin>0，则该问题没有可行解。
xfeas用于提取该可行解x，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xfeas,X)。
lmisys代表该矩阵不等式系统，需要预先定义好。
options是可选量，用于描述求解参数。
target是可选量，用于为tmin设置目标值，默认值为0，当tmin<target时，迭代停止。

2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题

$$mi{n}_x{c}^{T}x$$$$s.t.A(x)<B(x)$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[copt, xopt]=mincx(lmisys, c, options, xinit, target)

其中，copt代表目标函数值$c^{T}x$的全局最优值。
xopt代表用于提取最优解，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xopt,X)。
lmisys代表该矩阵不等式系统，需要预先定义好。
c是已知变量。
options是可选量，用于描述求解参数。
xinit是可选量，用于表示最优解xopt的一个初猜值，可加快求解过程。
target是可选量，用于为目标函数设置目标值，当$c^{T}x$<target时，迭代停止。

3、广义特征值的最小化问题

$$min\lambda$$$$\begin{gathered} s.t.C(x)<D(x) \\ 0<B(x) \\ A(X)<\lambda B(x) \end{gathered}$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[lopt, xopt]=gevp(lmisys, nlfc, options, linit, xinit, target)

其中，lopt代表优化问题的全局最优值。
xopt代表用于提取最优解，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xopt,X)。
lmisys代表$\lambda =1$时的矩阵不等式系统。
mlfc代表含$\lambda$的约束的个数。
options是可选量，用于描述求解参数。
linit，xinit是可选量，用于表示最优解lopt、xopt的初猜值，可加快求解过程。
target是可选量，当$\lambda$<target时，迭代停止。

使用gevp必须注意到：

1. 必须包含$\lambda =1$的这种情况。
2. 要把$A(x)<B(x)$放在最后定义。
3. 必须要有使$0<B(x)$成立的约束。