【ybt金牌导航8-6-4】原根数量

原根数量

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题目大意

给你一个奇质数 p，问你它原根的个数。

思路

首先，我们要知道原根是什么东西。

阶

在说原根之前，我们要知道阶是什么。

设 $n>1$，$a$ 是与 $n$ 互质的数，那根据扩展欧几里得，可以知道一定会有许多 $r$ 使得 $a^r\equiv 1(modn)$。而最小的那一个会在 $1\sim n$ 之间，这个值就叫做 $a$ 模 $n$ 的阶，记作 $Or{d}_n(a)$。

要注意的是，之后 $\gcd (a,n)=1$ 的时候，才会有阶，不然它那个方程就是无解的，也就是没有阶了。

然后我们来讲讲它的一些性质：（我们假设已经知道 $\gcd (a,n)=1$）
已知 $a$ 模 $n$ 的阶为 $r$，如果有一个数 $N$ 使得 $a^N\equiv 1(modn)$，那 $N$ 就是 $r$ 的倍数，也就是 $r|N$。

然后 $a$ 模 $n$ 的阶 $r$ 它是整除 $\phi (n)$ 的。然后如果 $n$ 是一个质数，那 $r$ 它就整除 $n-1$。（因为质数的 $\phi$ 值为它减一）
（这个是通过欧拉定理得出的）

欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1(mod n)

然后还有一个，记 $n=or{d}_m(a)$，对于大于 $0$ 的 $i$，如果 $or{d}_m(a^i)=s$，那么 $s=\frac{n}{\gcd (n,i)}$。

原根

然后我们来看原根是什么。
原根就是满足 $Or{d}_m(a)=\phi (m)$ 的 $a$，叫做 $a$ 是 $m$ 的原根。
那你可以看出它是模 $m$ 剩余类，那我们只看它在 $0\sim m$ 的解。

然后它也有一些性质。

1. 首先，$a^0,a^1,a^2,...,a^{Or{d}_m(a)-1}$ 模 $m$ 肯定是两两不同余的。那当 $a$ 是模 $m$ 的原根的时候，那上面的肯定就构成了模 $m$ 的简约剩余系。那当上面构成了模 $m$ 的简约剩余系的时候，那这个 $a$ 就是模 $m$ 的原根。
   有一个特别的是当 $m$ 是质数的时候，那上面的 $a$ 是模它的原根的时候，它不仅构成简约剩余系，而且它还是这样的：$1,2,...,m-1$。
2. 所有的素数都有原根。
3. 不是所有整数都有原根。
4. 当一个数 $m$ 有原根的时候，它有 $\phi (\phi (m))$ 个原根。
   这个可以根据阶的最后一个性质来解释。

这道题

这道题就是直接用原根第四条性质，就好了。

代码

#include<cstdio>

using namespace std;

int p;

int phi(int now) {
    
    //求phi值
	int re = now;
	for (int i = 2; i * i <= now; i++)
		if (now % i == 0) {
    
    
			re = re / i * (i - 1);
			while (now % i == 0) now /= i;
		}
	if (now > 1) re = re / now * (now - 1);
	return re;
}

int main() {
    
    
	while (scanf("%d", &p) != EOF) {
    
    
		printf("%d\n", phi(p - 1));//phi(phi(p))，而质数的 phi 值是它减一，所以就省去了一次
	}
	
	return 0;
}