一、引言
在《人工智能数学基础—定积分1：定积分的概念以及近似计算》介绍了利用定积分的定义进行定积分的近似计算方法，但这种方式比较复杂，如果被积函数复杂困难更大，那么定积分是否有其他计算方式呢？答案是肯定的，这个方法其实就是通过不定积分来求定积分，这也是为什么二者的表示形式和概念有这么大的相似度的原因。
二、关于积分上限的函数及其导数
在介绍定积分的计算方法前，我们先介绍积分上限的函数及其导数。
2.1、积分上限函数的概念
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，设x为区间[a,b]上的一点，则f(x)在区间[a,x]上的定积分一定存在，其形式为：
在此定积分表达式中，x既表示积分上限，又表示了积分变量，由于定积分的值只与积分区间和被积函数相关，与积分变量无关，所以可以把上述积分表示为：
如果x在区间[a,b]上任意变动，则对于每个给定的x值，上述定积分有个对应值，所以该定积分在区间[a,b]上定义了一个函数，记该函数为Φ（x），则有：
该函数称为积分上限函数。
2.1、积分上限函数的性质
2.1.1、定理1
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数：
在区间[a,b]上可导，并且它的导数：
证明思路：
- 设x∈(a,b)，通过ΔΦ = Φ（x）- Φ（x+Δx），即可得ΔΦ为区间[x,x+Δx]上函数f(t)的定积分，应用积分中值定理可得：ΔΦ = f(ε)Δx，当Δx趋于0时，f(ε)的极限即为f(x)，而根据ΔΦ /Δx= f(ε)，因此在Δx趋于0时，对两边取极限即可得：lim ΔΦ /Δx = Φ’(x) = f(x)。
- 如果x=a取Δx>0，同理可证 Φ（x）在a点的右导数等于f(a)，如果x=b取Δx<0，可证 Φ（x）在b点的左导数等于f(b)。
2.1.2、定理2
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数：
就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
定理2肯定了连续函数的原函数是存在的，且初步揭示了函数的定积分与原函数之间的关系。
三、牛顿-莱布尼茨公式
定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么：
对于a>b的情况，该公式同样适用。公式2-4又可以记为：
公式(2-4)叫做牛顿(Newton)-莱布尼茨（Leibniz）公式，也称为微积分基本公式。
证明思路：根据定理可知 Φ(x)是f(x)的一个原函数，而F(x)也是一个原函数，两者的差为一个常数C，即：
F(x) - Φ(x) = C
由于Φ(a)=0，F(a) - Φ(a)= C，则F(a)=C。即可得：
当x=b时，定理得证。
牛顿-莱布尼茨公式表明：
一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量，因此可以通过原函数来计算定积分。
四、微积分基本公式的应用举例
例1
通过这个案例，我们应该特别注意：公式（2-4）中的函数F(x)必须是f(x)在其积分区间[a,b]上的原函数。
例2
例3
本例的结论与《人工智能数学基础—定积分2：定积分的性质》所述积分中值定理稍有不同，将ε的取值区间变为了开区间(a,b)。
通过本例可以看到，积分中值定理和微分中值定理之间是有紧密的关系的，二者的内在逻辑是一致的。
例4
五、小结
本节介绍了积分上限函数，通过积分上限函数证明了微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式），牛顿-莱布尼茨公式表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量。
由于牛顿-莱布尼茨公式表明了定积分和不定积分的关系，因此可以用于定积分的精确计算。
说明：
本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。
更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。
写博不易，敬请支持：
如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！
关于老猿的付费专栏
- 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》；
- 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》；
- 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录 》
- 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。
前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。
对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。
如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。