常用泰勒、微积分公式

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常用公式

常用穷小替换

$x=>\sin x=>\tan x=>\arcsin x=>\arctan x=>\ln (x+1)=>e^x-1$
$(x+1)^a-1=>ax$
$a^x-1=>xln(a)$
$1-\cos x=>\frac{1}{2}x^2$
$\tan x-\sin x=>\tan x(1-\cos x)=>\frac{1}{2}x^3$

常用泰勒展开式

• $x-f(x)$展开
  $x-\sin x=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$
  $x-\arcsin x=-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$
  $x-\tan x=-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$
  $x-\arctan x=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$
• 三角函数展开
  $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
  $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
  $\ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

常用微分公式

$d\tan x=(\sec x)^2dx$
$d\cot x=-(\csc x)^2dx$
$d\sec x=\sec x\tan xdx$
$d\csc x=-\csc x\cot xdx$
$d\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$d\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$d\arctan x=\frac{1}{1+x^2}dx$
$darcot x=-\frac{1}{1+x^2}dx$

常用高阶导数公式

$(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{an}$
$(\sin ax)^{(n)}=a^n\sin (ax+n\frac{\Pi}{2})$
$(\cos ax)^{(n)}=a^n\cos (ax+n\frac{\Pi}{2})$
$(\ln (1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}$
$(\frac{1}{x})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}$

• 莱布尼茨公式
  $(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v+C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}+uv^{n}$

常用积分公式

$\int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C$
$\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C$
$\int \sec xdx=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C$
$\int \csc x dx=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C$
$\int \sec^2(x)dx=\tan x+C$
$\int \csc xdx=\cot x+C$
$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan(\frac{1}{a}x)+C$
$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{1}{a}x$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

Mathmatica常用命令

• Solve[x^2 + a x + 1 == 0, x]求方程的解
• Integrate[f,x,x_min,x_max]求定积分和不定积分
• Limit[Sin[x]/x, x -> 0]求极限