微积分基础2-泰勒级数

1. 马克劳林级数-用多项式逼近任意函数

选取一个中心点，然后用多项式逼近原函数，目的是为了用多项式代替原函数，因为多项式有很多优点：计算简单，求导简单，积分也简单

Maclaurin series(马克劳林级数)：是一个多项式，其中心在0点，是泰勒级数的特例，泰勒级数可以选取任意的中心点

$\begin{align*} p(x) &=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{1}{2}x^2+f'''(0)\frac{1}{3 \times 2} x^3 \\ &+ f^4(0) \frac{1}{4!}x^4 + \cdots + f^n(0) \frac{1}{n!} x^n \end{align*}$

推导马克劳林级数：

假设原函数为f(x)，且可以计算出函数在0点处的值，并且也可以得到函数的各阶导数在0处的值，即f(0),f'(0),f''(0) ... 已知，那么我们可以不断增加多项式的项，用多项式来近似表达原函数。

1. 用只有1项的多项式估计原函数：当只有0处的函数值相等时，可以假设p为

$p(x)=f(0)$

2. 用含有2项的多项式估计原函数：当1阶导数在0处的值又相等时，可以假设p为

$p(x)=f(0)+f'(0)x$

证明：

$p(0)=f(0)+f'(0)*0=f(0)$

$p'(x) = f'(0) \quad \Rightarrow \quad p'(0)=f'(0)$

3. 用含有3项的多项式估计原函数：当2阶导数在0处的值又相等时，可以假设p为

$p(x) = f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{1}{2}x^2$

证明：

$p(0)=f(0)+f'(0)*0+f''(0)*0 = f(0)$

$p'(x)=f'(0)+f''(0)x \qquad p''(x)=f''(0)$

$\Rightarrow p'(0)=f'(0)+f''(0)*0=f'(0) \qquad p''(0) = f''(0)$

4. 当用更多项的多项式估计原函数：当增加“更多阶导数相等”时，多项式越来越接近原函数，尤其是x趋于0时非常接近原函数

2. 举例

2.1. cos(x)在0处的泰勒级数

在0点附近，用多项式来近似表达cos(x)，随着多项式的项数的增加，多项式在0点附近，越来越接近原函数

$\begin{align*} \cos(x) &=\cos(0) + \cos'(0)x + \cos''(0) \frac{1}{2}x^2 + \cos'''(0) \frac{1}{3*2}x^3 \\ &+ \cos^4(0) \frac{1}{4!}x^4 + \cdots + \cos^n(0) \frac{1}{n!}x^n \\ &= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \end{align*}$

可以看到，随着多项式项数的增加，p(x)越来越接近cos(x)

2.2. sin(x)在0处的泰勒级数

$\begin{align*} \sin(x)&=\sin(0)+\sin'(0)x+\sin''(0)\frac{1}{2}x^2+\sin'''(0)\frac{1}{3*2}x^3 \\ &+\sin^4(0)\frac{1}{4!}x^4 + \cdots + \sin^n(0) \frac{1}{n!}x^n \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align*}$

2.3. e^x在0处的泰勒级数

$\begin{align*} e^x&=e^0+e^0x+e^0\frac{1}{2}x^2+e^0\frac{1}{3*2}x^3 \\ &+e^0\frac{1}{4!}x^4 + \cdots + e^0 \frac{1}{n!}x^n \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align*}$

2.4. 欧拉公式

通过cos(x),sin(x)和e^x在0点的泰勒级数，推导出：

$\begin{align*} e^{ix} &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots \\ &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \\ &= (1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \cdots) \\ &= \cos(x) + i\sin(x) \end{align*}$

欧拉恒等式：

$\begin{align*} &e^{i\pi}=\cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 \\ &e^{i \pi} + 1= 0 \end{align*}$