图-最小生成树

1. 最小生成树

 

1.1 生成树的定义

 

1.2 最小生成树的定义

 

2. 构造最小生成树

2.1 MST性质

 

2.2 prim算法

U是V的一个顶点子集
第一步： 一开始U里只有一个顶点,假设是V1,( U = {V1}，TE = {} )
第二步： 找一条代价最小的边，看图可以发现是(V1，V3)
第三步： 将(V1，V3)并入到TE，同时V3并入到U，U = { V1，V3 } , TE = { (V1，V3) }
重复上述操作
U = { V1，V3 },TE = { ( V1，V3) }
V1、V3 ∈ U，在V-U中找一条代价最小的边，看图可以发现(V3，V6)
将(V3，V6)并入到TE，同时将V3并入到U，U = {v1，v3，v6}, TE = { (V1，V3)，(v3，v6) }

U = { V1,V3,V6 }, TE = { (V1,V3), (V3,V6)
V1、V3、V6 ∈ U，在V-U中找一条代价最小的边，看图可以发现(V6,V4)
将(V6,V4)并入到TE，同时将V4并入到U，( U = {V1,V3,V6,V4 }, TE = { (V1,V3)，(v3,v6)，(V6,V4) }
… …
直到U的个数==V的个数

 

2.2.1 prim算法实现

每加入了一个新顶点,都要将它到(V-U)集合的顶点做个比较
如果,权值比先lowcost值小,那么就更新shortEdge数组(挑每个边与其他边的最小权值)
在shortEdge数组中,将最小边的lowcost赋值为0，代表加入到了U集合

 

2.3 Kruskal算法

2.3.1 Kruskal算法实现

parent数组所形成的树与图中的树是完全不一样的
parent只是用来标识,判断两个顶点是否同一个连通分量中,
并不是像树中双亲孩子的概念,在parent数组中,v2是v1的孩子,
但我们看图是可以发现,v1和v2并没有线是连着的,

因此我们用parent数组,来找两个顶点的根结点是否相同,实际上是来判断
两个顶点是否在同一个连通分量中,
如果根结点相同,那么两个顶点在同一个连通分量,因此要舍弃
如果根结点不同,那么两个顶点在不在一个连通分量,因此要合并到同一个连通分量,合并的方法就是使根结点相同

3. Prim算法与Kruskal算法比较

Prim算法：找每个顶点上的最小边，直到把所有顶点加入到顶点集合中，构成最小生成树
Kruskal算法： 每次找最小边,并且不能形成环路<在选择边的过程中,必须每次都有新的顶点出现>