图:最小生成树

课程流程：从图的定义到从无向图的一些性质（边数），然后介绍了两种图的表示方法，然后介绍最小生成树，证明了最优子结构和重叠子问题引出动态规划，但是局部最优可以达到全局最优使用贪心算法，然后证明了MST局部最优可以达到全局最优

#something 表示something的数量，如 #E表示边的数量

无向图的性质：

无向图：G=（V,E） #E≤V ²

#E=O(V ²) 取对数 O（lgV）
连通图（两点有路径可达达）：#E>#V-1 取对数 Ω（lgV）【后面算一些下界需要用到】
所以连通图 lg#E=θ（lgV）

图的表示：

一丶邻接矩阵

存储空间：θ(V²) ，浪费
注：从这里我们也可以看出矩阵和图是同一件事物两种不同表示

二丶邻接表

Adj[V] 记录与V相连的点如：Adj[4] ={2,3} 表示4 与2和3连接
#Adj[V] = degree(V)（无向图）=outdegre(V)（有向图)

握手定理（无向)

度和=2#E
边的存储空间：边最多2E，所以O（E）
总的存储空间：θ（V+E），所以是稀疏表示法

具体

每个顶点建立一个单链表，第 i 个单链表中的结点都依附于顶点v_i的边

头结点

firstarc：指向链表的第一个结点
info：顶点的信息

弧结点

adjvex：表示该邻接点在图中的位置
nextarc：指向顶点v _i的下一条弧
info：存储弧的信息 如权值

最小生成树

图中找到一个无环的边集连接了所有的节点，且边的权重和最小

分布式系统找到一颗最小生成树，所有节点活跃，海量应用

算法

输入：无向图G=(V,E) ，w（u，v）u到v的权值
输出：一颗生成树
试试可以用动态规划吗？

最优子结构

MST的子树也是对应子图的MST

证明T ₁ ,T ₂同理

研究方法：T被分成两个子树T ₁,T ₂

重叠子问题

有该性质

结论

动态规划可以解决，但隐藏有一个更加强大的属性： 局部最优也是全局最优，使用贪心算法，更牛逼

Prim 算法

图解释

Prim算法有两个集合，一个就是已经知道了路径的S，还有就是未知的G-S，
图中 绿色点表示现在S可以直连的，也知道这些连接点边的长度
图中 红色点表示现在S不可以直连的，也不知道这些连接点边的长度，必须等其他点加入S后才能获取
图中 黑色点表示根本连接不上的点，不在一个连通分量中

Pseudocode

Prim 算法使用的就是贪心，每次选择连接到的绿色点的边中权重最小，然后把那个点u加入S
然后更新u的不属于S集合的邻居

可以使用贪心证明

也就是证明局部最优达到全局最优证明
不看树的其他部分，我们只看一部分，把这部分连接到外面的部分我们选择最小的最好，这就是贪心，虽然局部最优，但是可以达到全局最优，证明如下

prim(G,W,S)
{	
	foreach(v∈G.v) d[v] = +∞
	d[s]=0
	Q=V
	while(Q!=null)
	{
		u=Extract_min(Q) //贪心所在
		foreach(v∈Adj[u])
			if(v∈S && d[v]>w[u,v])
			{
			
			    d[v]=w[u,v]
			    Decrease_key(v)
			 	path.v=u
			}
	}

这里Q是二叉堆而成的优先队列

运行时间分析：

也就是分析Extract_min和Decrease_key(v)次数

1. Extract_min(Q)也就是顶点的个数V
2. Decrease_key(v)也就是度的和(握手定理) O(E)