关于斐波那契数列，相信学过函数递归的友友们肯定晓得这是啥，不过为加强动态规划的思想学习，本居开了新的专题——动态规划，在这里将会简要介绍一下动态规划的思想，用该思想来开启一种高效的斐波那契数列的求解之法，并以该例子为开头，深入探究学习动态规划。
啥是动态规划？
用人话来解释就是大事化小，小事化了的分治思想
好的，这话好像在哪见过，没错，在学习函数递归的时候，用的就是该思想，但是有所不同的是，动态规划在分治的过程中，对小问题处理好的结果进行了保存，等到之后在处理更大规模问题时可以直接使用这些结果，而不是每次求大问题时都从小问题入手，吭哧吭哧求大问题。
具体思考问题的四个角度：
- 状态定义
- 状态间的转移方程定义
- 状态的初始化
- 返回结果
就拿本案例来说！
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）来求第N项斐波那契数列
递归思想
如果用递归的思想来求，非常简单，应该是这样的：
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n <= 0) {
return 0;
}
//边界条件
if(n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
//按照定义总结出的递归式
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
}
代码虽简单，但当n越大，包含的运算的量就会以指数形式爆发增长。
由图可见，当n的值较小的时候，计算是非常简单的，但是当n的值变大时，就会出现大量的重复计算，n为5的时候，Fib(1)就已经2次参与运算，Fib(2)就已经3次参与运算，Fib(3)被重复计算了2次，可想而知，当n越变越大时，重复计算的量就会大量增加，计算的速度会随着n的增加肉眼可见的变慢，程序甚至会挂。
因此，若是将每次计算出的小问题存起来就可以很好地提高效率，我们可以准备一个数组来存放小问题的结果！
动归思想
状态定义：Fib(i)的值即斐波那契数列的第i个值
状态间的转移方程定义：Fib(i) = Fib(i - 1) + Fib(i - 2)
状态的初始化：Fib(0) = 0 Fib(1) = 1
返回结果：返回Fib(n)的值即斐波那契数列的第n个值
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n == 1||n == 2) return 1;
if(n <= 0) return 0;
int[] Fib = new int[n + 1]; //用来存放每次计算出的斐波那契数
Fib[0] = 0;
Fib[1] = 1; //状态的初始化
Fib[2] = 1;
for(int i = 3;i <= n;i ++) {
Fib[i] = Fib[i - 1] + Fib[i - 2]; //转移方程
}
return Fib[n]; //返回所求的第n位斐波那契数
}
}
动归思想（改良）
根据题目所要求的，实际上我们只需要知道第n项的前两项即可，并不需要将斐波那契数列中位数比n小的全部放到数组当中，只需要在循环的过程中不断更新n - 1，n - 2为斐波那契数的值即可。
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n == 1||n == 2)return 1;
if(n <= 0) return 0;
int ret = 0;
int n1 = 1; //n - 1位的初始值
int n2 = 1; //n - 2位的初始值
for(int i = 3;i <= n;i ++) {
ret = n1 + n2; //转移方程
n2 = n1; //更新n - 2位的值
n1 = ret; //更新n - 1位的值
}
return ret; //返回结果
}
}
完！