斐波那契数列是最经典的动态规划算法应用实例之一。接下来，将从斐波那契数列入手，学习下基于动态规划求解问题。
问题描述：
斐波那契数列，是指一个数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0,
F(1) = 1,
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你 n ，请计算 F(n) 。更详细的题目描述和示例可以参考力扣
解题思路：
根据斐波那契数列公式，在数列个数大于2的情况下，后一项的值等于前两项的值的和。也就是说，问题的求解依赖其子问题的求解。显然，这个问题可以使用递归算法解决。但是，也应注意到该递归算法会反复地求解相同的子问题，而不是一直生成新的子问题。而动态规划通过安排问题的求解顺序，确保每个子问题只求解一次（将结果保存起来。如果随后再次需要此子问题的解，只需查找保存的结果，而不必重新计算）。所以，也可以使用动态规划求解该问题。
算法实现：
接下来将分别使用递归算法和动态规划算法求解该问题。

朴素递归算法

由于已知知道递推公式，所以可以直接基于递推公式实现算法。对应代码如下：

public int fibInRecursion(int n) {
    
    
    if (n < 2) {
    
    
        return n;
    }
    return fibInRecursion(n - 1) + fibInRecursion(n - 2);
}

动态规划算法

根据斐波那契数列公式，在数列个数大于2的情况下，后一项的值等于前两项的值的和。由于该公式需要反复地求解相同的子问题，所以可以使用动态规划算法减少重复子问题的求解。
在明确可以使用动态规划后，接下来考虑如何实现相关算法。动态规划有两种等价实现方法：带备忘的自顶向下法和自底向上法。两种方法得到的算法具有相同的渐近运行时间，仅有的差异是在某些特殊情况下，自顶向下方法并未真正递归地考察所有可能的子问题。由于没有频繁的递归函数调用的开销，自底向上方法的时间复杂性函数通常具有更小的系数。由于对于该问题，其子问题空间中所有子问题都需求解，所以采用自底向上方法（减少递归调用的开销）。明确了算法实现方法选择后，接下来考虑实现。

public int fibInDynamicProgramming(int n) {
    
    
    if (n < 2) {
    
    
        return n;
    }
    // 暂存中间结果
    int first = 0;
    int second = 1;
    int result = first + second;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
        result = first + second;
        first = second;
        second = result;
    }
    return result;
}

可以看到，直接使用递归算法，其最坏时间复杂度是 $O(2^n)$ ，而使用动态规划算法，其最坏时间复杂度是 $O (n)$ ，所需消耗的空间也是在常量范围内。
类似的题目还有： (1) 爬楼梯问题，(2) 使用最小花费爬楼梯问题，(3) 不同路径问题。

参考

https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/ 斐波那契数列
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/ 爬楼梯问题
https://leetcode-cn.com/problems/min-cost-climbing-stairs/ 使用最小花费爬楼梯
https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/ 不同路径

动态规划实战篇--斐波那契数列

朴素递归算法

动态规划算法

参考

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