多传感器融合定位十-基于滤波的融合方法Ⅰ其二
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3. 滤波器基本原理
3.1 状态估计模型
实际状态估计任务中,待估计的后验概率密度
可以表示为:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k}\right) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k)其中:
x ˇ 0 \check{\boldsymbol{x}}_0 xˇ0 表示的是状态初始值
v 1 : k \boldsymbol{v}_{1: k} v1:k 表示从 1 1 1 到 k k k 时刻的输入
y 0 : k \boldsymbol{y}_{0: k} y0:k 表示从 0 0 0 到 k k k 时刻的观测
因此,滤波问题可以直观表示为,根据所有历史数据(输入、观测、初始状态)得出最终的融合结果。
历史数据之间的关系,可以用下面的图模型表示,
图模型中体现了马尔可夫性
,即当前状态只跟前一时刻状态相关,和其他历史时刻状态无关。
该性质的数学表达:
运动方程: x k = f ( x k − 1 , v k , w k ) \boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{w}_k\right) xk=f(xk−1,vk,wk)
观测方程: y k = g ( x k , n k ) \boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right) yk=g(xk,nk)
3.2 贝叶斯滤波
公式的推导可参考:非线性优化
根据贝叶斯公式, k k k 时刻后验概率密度
可以表示为:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) = p ( y k ∣ x k , x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p ( y k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) = η p ( y k ∣ x k , x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) \begin{aligned} p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k}\right) & =\frac{p\left(\boldsymbol{y}_k \mid \boldsymbol{x}_k, \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right)}{p\left(\boldsymbol{y}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right)} \\ & =\eta p\left(\boldsymbol{y}_k \mid \boldsymbol{x}_k, \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) \end{aligned} p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k)=p(yk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)p(yk∣xk,xˇ0,v1:k,y0:k−1)p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)=ηp(yk∣xk,xˇ0,v1:k,y0:k−1)p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)(这里 y k \boldsymbol{y_k} yk 是当前时刻的观测,而 p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k}\right) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k) 是当前时刻后验, p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)为先验。我们需要的是后验概率最大化,因为贝叶斯分母部分与待估计的状态无关,因而可以忽略)
根据观测方程, y k \boldsymbol{y}_k yk 只和 x k \boldsymbol{x}_k xk 相关,因此上式可以简写为:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) = η p ( y k ∣ x k ) p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k}\right)=\eta p\left(\boldsymbol{y}_k \mid \boldsymbol{x}_k\right) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k)=ηp(yk∣xk)p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)利用条件分布的性质,可得:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) = ∫ p ( x k ∣ x k − 1 , x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) p ( x k − 1 ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) d x k − 1 \begin{aligned} & p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) \\ & =\int p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \boldsymbol{x}_{k-1}, \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) p\left(\boldsymbol{x}_{k-1} \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{x}_{k-1} \end{aligned} p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)=∫p(xk∣xk−1,xˇ0,v1:k,y0:k−1)p(xk−1∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)dxk−1再利用马尔可夫性,可得:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) = ∫ p ( x k ∣ x k − 1 , v k ) p ( x k − 1 ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) d x k − 1 \begin{aligned} & p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) \\ & =\int p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k\right) p\left(\boldsymbol{x}_{k-1} \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{x}_{k-1} \end{aligned} p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)=∫p(xk∣xk−1,vk)p(xk−1∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)dxk−1经过以上化简,最终后验概率可以写为(观测+运动+前一帧结果):
根据以上结果,可以画出贝叶斯滤波的信息流图如下:
贝叶斯滤波是一个非常广泛的概念,它不特指某一种滤波:
- 在高斯假设前提下,用贝叶斯滤波的原始形式推导比较复杂,可以利用高斯的特征得到简化形式,即广义高斯滤波。后面 KF、EKF、IEKF 的推导均采用这种形式。
- 实际中,UKF 和 PF 多应用于扫地机器人等2D小场景,与本课程目标场景不符,因此不做讲解。(UKF 和 PF 本身有一个维度的问题,维度高了不太行,而我们这里使用的维度多半是 15 15 15 维的,在三维场景就不好用了)
3.3 卡尔曼滤波(KF)推导
之前写的卡尔曼文章可见此处跳转:滤波笔记一:卡尔曼滤波
在线性高斯假设下,上式可以重新写为下面的形式(为了和后面符号对应)
运动方程: x k = F ( x k − 1 , v k ) + B k − 1 w k \boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k\right)+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k xk=F(xk−1,vk)+Bk−1wk
观测方程: y k = G ( x k ) + C k n k \boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{x}_k\right)+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k yk=G(xk)+Cknk
( F \boldsymbol{F} F 和 G \boldsymbol{G} G 在这里代表的是线性的意思,非线性是后面要推导的。这里的 G \boldsymbol{G} G 和之前卡尔曼文章里写的 H \boldsymbol{H} H 是一个东西。 n \boldsymbol{n} n 为观测噪声,是个零均值白噪声)
把上一时刻的后验状态写为(因为后验本身是高斯形式,所以直接写成均值和方差的标准形式):
p ( x k − 1 ∣ x ˇ 0 , v 1 : k − 1 , y 0 : k − 1 ) = N ( x ^ k − 1 , P ^ k − 1 ) p\left(\boldsymbol{x}_{k-1} \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k-1}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right)=\mathcal{N}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1}\right) p(xk−1∣xˇ0,v1:k−1,y0:k−1)=N(x^k−1,P^k−1)则当前时刻的预测值为(根据运动方程推测的新时刻位置):
x ˇ k = F ( x ^ k − 1 , v k ) \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{F}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k\right) xˇk=F(x^k−1,vk)根据高斯分布的线性变化,它的方差为(可仿照第2.8节中的推导过程自行推导)(根据运动方程推测的新时刻方差):
P ˇ k = F k − 1 P ^ k − 1 F k − 1 T + B k − 1 Q k B k − 1 T \check{\boldsymbol{P}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1} \boldsymbol{F}_{k-1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}} Pˇk=Fk−1P^k−1Fk−1T+Bk−1QkBk−1T其中 Q k Q_k Qk 为当前输入噪声的方差。
若把 k k k 时刻状态和观测的联合高斯分布写为:
p ( x k , y k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) = N ( [ μ x , k μ y , k ] , [ Σ x x , k Σ x y , k Σ y x , k Σ y y , k ] ) p\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{y}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k-1}\right)=\mathcal{N}\left(\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\mu}_{x, k} \\ \boldsymbol{\mu}_{y, k} \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{\Sigma}_{x x, k} & \boldsymbol{\Sigma}_{x y, k} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{y x, k} & \boldsymbol{\Sigma}_{y y, k} \end{array}\right]\right) p(xk,yk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)=N([μx,kμy,k],[Σxx,kΣyx,kΣxy,kΣyy,k])根据第2.7节中的推导结果, k k k 时刻的后验概率可以写为:
p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) = N ( μ x , k + Σ x y , k Σ y y , k − 1 ( y k − μ y , k ) ⏟ x ^ k , Σ x x , k − Σ x y , k Σ y y , k − 1 Σ y x , k ⏟ P ^ k ) \begin{aligned} p & \left(\boldsymbol{x}_k \mid \check{\boldsymbol{x}}_0, \boldsymbol{v}_{1: k}, \boldsymbol{y}_{0: k}\right) \\ & =\mathcal{N}(\underbrace{\boldsymbol{\mu}_{x, k}+\boldsymbol{\Sigma}_{x y, k} \boldsymbol{\Sigma}_{y y, k}^{-1}\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{\mu}_{y, k}\right)}_{\hat{\boldsymbol{x}}_k}, \underbrace{\boldsymbol{\Sigma}_{x x, k}-\boldsymbol{\Sigma}_{x y, k} \boldsymbol{\Sigma}_{y y, k}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{y x, k}}_{\hat{P}_k}) \end{aligned} p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k)=N(x^k
μx,k+Σxy,kΣyy,k−1(yk−μy,k),P^k
Σxx,k−Σxy,kΣyy,k−1Σyx,k)其中 x ^ k \hat{\boldsymbol{x}}_k x^k 和 P ^ k \hat{\boldsymbol{P}}_k P^k 分别为后验均值和方差。若定义:
K k = Σ x y , k Σ y y , k − 1 \boldsymbol{K}_k=\boldsymbol{\Sigma}_{x y, k} \boldsymbol{\Sigma}_{y y, k}^{-1} Kk=Σxy,kΣyy,k−1则有:
P ^ k = P ˇ k − K k Σ x y , k T x ^ k = x ˇ k + K k ( y k − μ y , k ) \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{P}}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{\Sigma}_{x y, k}^{\mathrm{T}} \\ & \hat{\boldsymbol{x}}_k=\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{\mu}_{y, k}\right) \end{aligned} P^k=Pˇk−KkΣxy,kTx^k=xˇk+Kk(yk−μy,k)把第2.8节中的推导得出的线性变换后的均值、方差及交叉项带入上面的式子,可以得到:
K k = P ˇ k G k T ( G k P ˇ k G k T + C k R k C k T ) − 1 P ^ k = ( I − K k G k ) P ˇ k x ^ k = x ˇ k + K k ( y k − G ( x ˇ k ) ) \begin{aligned} \boldsymbol{K}_k & =\check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{G}_k \check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \\ \hat{\boldsymbol{P}}_k & =\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{G}_k\right) \check{\boldsymbol{P}}_k \\ \hat{\boldsymbol{x}}_k & =\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{G}\left(\check{\boldsymbol{x}}_k\right)\right) \end{aligned} KkP^kx^k=PˇkGkT(GkPˇkGkT+CkRkCkT)−1=(I−KkGk)Pˇk=xˇk+Kk(yk−G(xˇk))上面方程与之前所述预测方程(如下),就构成了卡尔曼经典五个方程。
x ˇ k = F ( x ^ k − 1 , v k ) P ˇ k = F k − 1 P ^ k − 1 F k − 1 T + B k − 1 Q k B k − 1 T \begin{gathered} \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{F}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k\right) \\ \check{\boldsymbol{P}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1} \boldsymbol{F}_{k-1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}} \end{gathered} xˇk=F(x^k−1,vk)Pˇk=Fk−1P^k−1Fk−1T+Bk−1QkBk−1T需要说明的是,若不把第2.8节中的结果带入,而保留上页的原始形式,则对应的五个方程被称为广义高斯滤波。
3.4 扩展卡尔曼滤波(EKF)推导
之前写的扩展卡尔曼文章可见此处跳转:滤波笔记四:扩展卡尔曼滤波
当运动方程或观测方程为非线性的时候,无法再利用之前所述的线性变化关系进行推导,常用的解决方法是进行线性化,把非线性方程一阶泰勒展开成线性(在线性化点 x o p x_{op} xop 附近,所有的值都会用 f ( x ) = f ( x o p ) + F ( x − x o p ) f(x)=f(x_{op})+F(x-x_{op}) f(x)=f(xop)+F(x−xop) 表示)。即:
运动方程: x k = f ( x k − 1 , v k , w k ) ≈ x ˇ k + F k − 1 ( x k − 1 − x ^ k − 1 ) + B k − 1 w k \boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{w}_k\right) \approx \check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{F}_{k-1}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}-\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}\right)+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k xk=f(xk−1,vk,wk)≈xˇk+Fk−1(xk−1−x^k−1)+Bk−1wk
观测方程: y k = g ( x k , n k ) ≈ y ˇ k + G k ( x k − x ˇ k ) + C k n k \boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right) \approx \check{\boldsymbol{y}}_k+\boldsymbol{G}_k\left(\boldsymbol{x}_k-\check{\boldsymbol{x}}_k\right)+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k yk=g(xk,nk)≈yˇk+Gk(xk−xˇk)+Cknk
其中:
x ˇ k = f ( x ^ k − 1 , v k , 0 ) y ˇ k = g ( x ˇ k , 0 ) F k − 1 = ∂ f ( x k − 1 , v k , w k ) ∂ x k − 1 ∣ x ^ k − 1 , v k , 0 G k = ∂ g ( x k , n k ) ∂ x k ∣ x ˇ k , 0 B k − 1 = ∂ f ( x k − 1 , v k , w k ) ∂ w k ∣ x ^ k − 1 , v k , 0 C k = ∂ g ( x k , n k ) ∂ n k ∣ x ˇ k , 0 \begin{array}{ll} \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{f}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \mathbf{0}\right) & \check{\boldsymbol{y}}_k=\boldsymbol{g}\left(\check{\boldsymbol{x}}_k, \mathbf{0}\right) \\ \boldsymbol{F}_{k-1}=\left.\frac{\partial \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{w}_k\right)}{\partial \boldsymbol{x}_{k-1}}\right|_{\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \mathbf{0}} & \boldsymbol{G}_k=\left.\frac{\partial \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right)}{\partial \boldsymbol{x}_k}\right|_{\check{\boldsymbol{x}}_k, \mathbf{0}} \\ \boldsymbol{B}_{k-1}=\left.\frac{\partial \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{w}_k\right)}{\partial \boldsymbol{w}_k}\right|_{\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \mathbf{0}} & \boldsymbol{C}_k=\left.\frac{\partial \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right)}{\partial \boldsymbol{n}_k}\right|_{\check{\boldsymbol{x}}_k, \mathbf{0}} \end{array} xˇk=f(x^k−1,vk,0)Fk−1=∂xk−1∂f(xk−1,vk,wk)
x^k−1,vk,0Bk−1=∂wk∂f(xk−1,vk,wk)
x^k−1,vk,0yˇk=g(xˇk,0)Gk=∂xk∂g(xk,nk)
xˇk,0Ck=∂nk∂g(xk,nk)
xˇk,0根据该线性化展开结果,可以得到预测状态的统计学特征为:
E [ x k ] ≈ x ˇ k + F k − 1 ( x k − 1 − x ^ k − 1 ) + E [ B k − 1 w k ] ⏟ 0 E [ ( x k − E [ x k ] ) ( x k − E [ x k ] ) T ] ≈ E [ B k − 1 w k w T T B k − 1 T ] ⏟ B k − 1 Q k B k − 1 T \begin{aligned} & E\left[\boldsymbol{x}_k\right] \approx \check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{F}_{k-1}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}-\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}\right)+\underbrace{E\left[\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k\right]}_0 \\ & E\left[\left(\boldsymbol{x}_k-E\left[\boldsymbol{x}_k\right]\right)\left(\boldsymbol{x}_k-E\left[\boldsymbol{x}_k\right]\right)^{\mathrm{T}}\right] \approx \underbrace{E\left[\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k \boldsymbol{w}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right]}_{\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}}} \end{aligned} E[xk]≈xˇk+Fk−1(xk−1−x^k−1)+0
E[Bk−1wk]E[(xk−E[xk])(xk−E[xk])T]≈Bk−1QkBk−1T
E[Bk−1wkwTTBk−1T]即 p ( x k ∣ x k − 1 , v k ) ≈ N ( x ˇ k + F k − 1 ( x k − 1 − x ^ k − 1 ) , B k − 1 Q k B k − 1 T ) p\left(\boldsymbol{x}_k \mid \boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k\right) \approx \mathcal{N}\left(\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{F}_{k-1}\left(\boldsymbol{x}_{k-1}-\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}\right), \boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right) p(xk∣xk−1,vk)≈N(xˇk+Fk−1(xk−1−x^k−1),Bk−1QkBk−1T)
同理,可得到观测的统计学特征为:
E [ y k ] ≈ y ˇ k + G k ( x k − x ˇ k ) + E [ C k n k ] ⏟ 0 E [ ( y k − E [ y k ] ) ( y k − E [ y k ] ) T ] ≈ E [ C k n k n k T C k T ] ⏟ C k R k C k T \begin{aligned} & E\left[\boldsymbol{y}_k\right] \approx \check{\boldsymbol{y}}_k+\boldsymbol{G}_k\left(\boldsymbol{x}_k-\check{\boldsymbol{x}}_k\right)+\underbrace{E\left[\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k\right]}_0 \\ & E\left[\left(\boldsymbol{y}_k-E\left[\boldsymbol{y}_k\right]\right)\left(\boldsymbol{y}_k-E\left[\boldsymbol{y}_k\right]\right)^{\mathrm{T}}\right] \approx \underbrace{E\left[\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k \boldsymbol{n}_k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}\right]}_{C_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}} \end{aligned} E[yk]≈yˇk+Gk(xk−xˇk)+0
E[Cknk]E[(yk−E[yk])(yk−E[yk])T]≈CkRkCkT
E[CknknkTCkT]即 p ( y k ∣ x k ) ≈ N ( y ˇ k + G k ( x k − x ˇ k ) , C k R k C k T ) p\left(\boldsymbol{y}_k \mid \boldsymbol{x}_k\right) \approx \mathcal{N}\left(\check{\boldsymbol{y}}_k+\boldsymbol{G}_k\left(\boldsymbol{x}_k-\check{\boldsymbol{x}}_k\right), \boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}\right) p(yk∣xk)≈N(yˇk+Gk(xk−xˇk),CkRkCkT)
把均值和方差的具体形式,带入广义高斯滤波的公式,最终得到 EKF 下得经典五个公式。
P ˇ k = F k − 1 P ^ k − 1 F k − 1 T + B k − 1 Q k B k − 1 T x ˇ k = f ( x ^ k − 1 , v k , 0 ) K k = P ˇ k G k T ( G k P ˇ k G k T + C k R k C k T ) − 1 P ^ k = ( I − K k G k ) P ˇ k x ^ k = x ˇ k + K k ( y k − g ( x ˇ k , 0 ) ) \begin{aligned} & \check{\boldsymbol{P}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1} \boldsymbol{F}_{k-1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^{\mathrm{T}} \\ & \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{f}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}, \boldsymbol{v}_k, \mathbf{0}\right) \\ & \boldsymbol{K}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{G}_k \check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \\ & \hat{\boldsymbol{P}}_k=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{G}_k\right) \check{\boldsymbol{P}}_k \\ & \hat{\boldsymbol{x}}_k=\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{g}\left(\check{\boldsymbol{x}}_k, \mathbf{0}\right)\right) \end{aligned} Pˇk=Fk−1P^k−1Fk−1T+Bk−1QkBk−1Txˇk=f(x^k−1,vk,0)Kk=PˇkGkT(GkPˇkGkT+CkRkCkT)−1P^k=(I−KkGk)Pˇkx^k=xˇk+Kk(yk−g(xˇk,0))
这里的 f f f 和 g g g 都不见得是线性的,如预测的位置和速度映射到极坐标上的距离(range),方向(bearing)和距离变化率(range rate):
g ( x ′ ) = ( ρ ϕ ρ ˙ ) = ( p x ′ 2 + p y ′ 2 arctan ( p y ′ / p x ′ ) p x ′ v x ′ + p y ′ v y ′ p x ′ 2 + p y ′ 2 ) g\left(x^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \phi \\ \dot{\rho}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{p^{\prime 2}_{ x}+p^{\prime 2}_{y}} \\ \arctan \left(p_{y}^{\prime} / p_{x}^{\prime}\right) \\ \frac{p_{x}^{\prime} v_{x}^{\prime}+p_{y}^{\prime} v_{y}^{\prime}}{\sqrt{p_x^{\prime 2}+p_{y}^{\prime 2}}}\end{array}\right) g(x′)=
ρϕρ˙
=
px′2+py′2arctan(py′/px′)px′2+py′2px′vx′+py′vy′
3.5 迭代扩展卡尔曼滤波(IEKF)推导
由于非线性模型中做了线性化近似,当非线性程度越强时,误差就会较大。但是,由于线性化的工作点离真值越近,线性化的误差就越小,因此解决该问题的一个方法是,通过迭代逐渐找到准确的线性化点,从而提高精度。
在EKF的推导中,其他保持不变,仅改变观测的线性化工作点,则有(在EKF中选取的是 x \boldsymbol{x} x 的预测值 x ˇ \check{\boldsymbol{x}} xˇ 做的线性化,而这里是找的一个线性化的点,比前面的这个 x o p \boldsymbol{x}_{op} xop 更准):
g ( x k , n k ) ≈ y o p , k + G k ( x k − x o p , k ) + C k n k \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right) \approx \boldsymbol{y}_{\mathrm{op}, k}+\boldsymbol{G}_k\left(\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, k}\right)+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k g(xk,nk)≈yop,k+Gk(xk−xop,k)+Cknk其中:
y o p , k = g ( x o p , k , 0 ) G k = ∂ g ( x k , n k ) ∂ x k ∣ x o p , k , 0 C k = ∂ g ( x k , n k ) ∂ n k ∣ x o p , k , 0 \begin{aligned} & \boldsymbol{y}_{\mathrm{op}, k}=\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, k}, \mathbf{0}\right) \\ & \boldsymbol{G}_k=\left.\frac{\partial \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right)}{\partial \boldsymbol{x}_k}\right|_{\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, k}, \mathbf{0}} \\ & \boldsymbol{C}_k=\left.\frac{\partial \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{n}_k\right)}{\partial \boldsymbol{n}_k}\right|_{\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, \boldsymbol{k}}, \mathbf{0}} \end{aligned} yop,k=g(xop,k,0)Gk=∂xk∂g(xk,nk)
xop,k,0Ck=∂nk∂g(xk,nk)
xop,k,0按照与之前同样的方式进行推导,可得到滤波的校正过程为(这里的解决方法就是,先计算一个 x \boldsymbol{x} x 的后验 x ^ \boldsymbol{\hat{x}} x^,这里的后验肯定比先验要准,那么有了这个更准的值,再做一次卡尔曼滤波,这时线性化点就更准了):
K k = P ˇ k G k T ( G k P ˇ k G k T + C k R k C k T ) − 1 P ^ k = ( 1 − K k G k ) P ˇ k x ^ k = x ˇ k + K k ( y k − y o p , k − G k ( x ˇ k − x o p , k ) ) \begin{array}{l} \boldsymbol{K}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{G}_k \check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \\ \hat{\boldsymbol{P}}_k=\left(\mathbf{1}-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{G}_k\right) \check{\boldsymbol{P}}_k \\ \hat{\boldsymbol{x}}_k=\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{y}_{\mathrm{op}, k}-\boldsymbol{G}_k\left(\check{\boldsymbol{x}}_k-\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, k}\right)\right) \end{array} Kk=PˇkGkT(GkPˇkGkT+CkRkCkT)−1P^k=(1−KkGk)Pˇkx^k=xˇk+Kk(yk−yop,k−Gk(xˇk−xop,k))可见唯一的区别是后验均值 x ^ k \hat{\boldsymbol{x}}_k x^k 更新的公式与之前有所不同,五个步骤仅迭代 x ^ k = x ˇ k + K k ( y k − y o p , k − G k ( x ˇ k − x o p , k ) ) \hat{\boldsymbol{x}}_k=\check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{y}_{\mathrm{op}, k}-\boldsymbol{G}_k\left(\check{\boldsymbol{x}}_k-\boldsymbol{x}_{\mathrm{op}, k}\right)\right) x^k=xˇk+Kk(yk−yop,k−Gk(xˇk−xop,k)) 就够了。
滤波过程中,反复执行第3个公式,以上次的后验均值作为本次的线性化工作点,即可达到减小非线性误差的目的。当达到终止条件时,再执行一次前两个公式。
什么时候结束:如果这一次迭代和上一次迭代相比,差异很小,就可以结束了。
4. 基于滤波器的融合
通过以上推导,滤波问题可以简单理解为“预测 + 观测 = 融合结果”。
结合实际点云地图中定位的例子,预测由IMU给出,观测即为激光雷达点云和地图匹配得到的姿态和位置。
融合流程用框图可以表示如下:
IMU 有累积误差,这里的修正误差步骤可以用来消一下。
4.1 状态方程
状态方程 F F F 由误差方程得来,第8讲已经完成误差方程的推导(这里使用的方法是 误差状态卡尔曼(ESKF)
,虽然我们最终要输出的是 位置、速度、姿态 等等东西,但是我们关心的是它们的误差量,我们以误差量作为状态量来进行卡尔曼滤波。所以这里我们的状态量就是所有这些东西的误差量):
δ p ˙ = δ v δ v ˙ = − R t [ a t − b a t ] × δ θ + R t ( n a − δ b a ) δ θ ˙ = − [ ω t − b ω t ] × δ θ + n ω − δ b ω δ b ˙ a = n b a 或 δ b ˙ a = 0 δ b ˙ ω = n b ω δ b ˙ ω = 0 令 δ x = [ δ p δ v δ θ δ b a δ b ω ] , w = [ n a n ω n b a n b ω ] \begin{aligned} & \delta \dot{\boldsymbol{p}}=\delta \boldsymbol{v} \\ & \delta \dot{\boldsymbol{v}}=-\boldsymbol{R}_t\left[\boldsymbol{a}_t-\boldsymbol{b}_{a_t}\right]_{\times} \delta \boldsymbol{\theta}+\boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{n}_a-\delta \boldsymbol{b}_a\right) \\ & \delta \dot{\boldsymbol{\theta}}=-\left[\boldsymbol{\omega}_t-\boldsymbol{b}_{\omega_t}\right]_{\times} \delta \boldsymbol{\theta}+\boldsymbol{n}_\omega-\delta \boldsymbol{b}_\omega \\ & \delta \dot{\boldsymbol{b}}_a=\boldsymbol{n}_{b_a} \quad \text { 或 } \quad \delta \dot{\boldsymbol{b}}_a=0 \\ & \delta \dot{\boldsymbol{b}}_\omega=\boldsymbol{n}_{b_\omega} \quad\quad\quad { }^{ }{ }^{ }{ }^{ }{ }^{ }{ }^{ }{ }^{ } \delta \dot{\boldsymbol{b}}_\omega=0 \\ & \text { 令 } \delta \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} \delta \boldsymbol{p} \\ \delta \boldsymbol{v} \\ \delta \boldsymbol{\theta} \\ \delta \boldsymbol{b}_a \\ \delta \boldsymbol{b}_\omega \end{array}\right],\boldsymbol{w}=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{n}_a \\ \boldsymbol{n}_\omega \\ \boldsymbol{n}_{b_a} \\ \boldsymbol{n}_{b_\omega} \end{array}\right] \end{aligned} δp˙=δvδv˙=−Rt[at−bat]×δθ+Rt(na−δba)δθ˙=−[ωt−bωt]×δθ+nω−δbωδb˙a=nba 或 δb˙a=0δb˙ω=nbωδb˙ω=0 令 δx=
δpδvδθδbaδbω
,w=
nanωnbanbω
有了误差量 δ x \delta \boldsymbol{x} δx 及它们之间关系,那么写 F \boldsymbol{F} F 和 B \boldsymbol{B} B 就很容易了。
则误差方程可以写成状态方程的通用形式:
δ x ˙ = F t δ x + B t w \delta \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{F}_t \delta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}_t \boldsymbol{w} δx˙=Ftδx+Btw其中(这里直接将上面公式写成矩阵形式,不需要做任何改变):
F t = [ 0 I 3 0 0 0 0 0 − R t [ a ‾ t ] × − R t 0 0 0 − [ ω ‾ t ] × 0 − I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] a ‾ t = a t − b a t ω ‾ t = ω t − b ω t B t = [ 0 0 0 0 R t 0 0 0 0 I 3 0 0 0 0 I 3 0 0 0 0 I 3 ] \begin{aligned} \boldsymbol{F}_t & =\left[\begin{array}{ccccc} 0 & \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\boldsymbol{R}_t\left[\overline{\boldsymbol{a}}_t\right]_{\times} & -\boldsymbol{R}_t & \mathbf{0} \\ 0 & 0 & -\left[\overline{\boldsymbol{\omega}}_t\right]_{\times} & \mathbf{0} & -\boldsymbol{I}_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \begin{array}{c} \overline{\boldsymbol{a}}_t=\boldsymbol{a}_t-\boldsymbol{b}_{a_t} \\ \overline{\boldsymbol{\omega}}_t=\boldsymbol{\omega}_t-\boldsymbol{b}_{\omega_t} \end{array} \\ \boldsymbol{B}_t & =\left[\begin{array}{cccc} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \boldsymbol{R}_t & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 \end{array}\right] \end{aligned} FtBt=
00000I300000−Rt[at]×−[ωt]×000−Rt00000−I300
at=at−batωt=ωt−bωt=
0Rt00000I300000I300000I3
注:当选择 δ b ˙ a = 0 \delta \dot{\boldsymbol{b}}_a=0 δb˙a=0, δ b ˙ ω = 0 \delta \dot{\boldsymbol{b}}_\omega=0 δb˙ω=0 时,矩阵形式不一样,请各位自行推导。
4.2 观测方程
在滤波器中,观测方程 G G G 一般写为:
y = G t δ x + C t n \boldsymbol{y}=\boldsymbol{G}_t \delta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{C}_t \boldsymbol{n} y=Gtδx+Ctn此例中观测量有位置、失准角,则(对于雷达和地图匹配,匹配完之后得到的是一个【位置+姿态/平移+旋转】,对于状态量来讲,一个观测对应两个状态量----平移和旋转的误差量。这里就需要将平移和旋转的误差量,变成想要的观测值):
y = [ δ p ‾ δ θ ‾ ] \boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{l} \delta \overline{\boldsymbol{p}} \\ \delta \overline{\boldsymbol{\theta}} \end{array}\right] y=[δpδθ]因此有:
G t = [ I 3 0 0 0 0 0 0 I 3 0 0 ] C t = [ I 3 0 0 I 3 ] \begin{aligned} \boldsymbol{G}_t & =\left[\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}\right] \\ \boldsymbol{C}_t & =\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{I}_3 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 \end{array}\right] \end{aligned} GtCt=[I30000I30000]=[I300I3]而此处 n n n 为观测噪声,
n = [ n δ p ˉ x n δ p ˉ y n δ p ˉ z n δ θ ˉ x n δ θ ˉ y n δ θ ˉ z ] T \boldsymbol{n}=\left[\begin{array}{llllll} n_{\delta \bar{p}_x} & n_{\delta \bar{p}_y} & n_{\delta \bar{p}_z} & n_{\delta \bar{\theta}_x} & n_{\delta \bar{\theta}_y} & n_{\delta \bar{\theta}_z} \end{array}\right]^T n=[nδpˉxnδpˉynδpˉznδθˉxnδθˉynδθˉz]T观测量中, δ p \delta \boldsymbol{p} δp 的计算过程为(平移误差量的求法):
δ p ‾ = p ˇ − p \delta \overline{\boldsymbol{p}}=\check{\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{p} δp=pˇ−p其中 p ˇ \check{\boldsymbol{p}} pˇ 为 IMU 解算的位置,即预测值。 p \boldsymbol{p} p 为雷达与地图匹配得到的位置,即观测值。
δ θ ‾ \delta \overline{\boldsymbol{\theta}} δθ 的计算过程稍微复杂,需要先计算误差矩阵,
δ R ‾ t = R t T R ˇ t \delta \overline{\boldsymbol{R}}_t=\boldsymbol{R}_t^T \check{\boldsymbol{R}}_t δRt=RtTRˇt其中 R ˇ t \check{\boldsymbol{R}}_t Rˇt 为 IMU 解算的旋转矩阵,即预测值。 R t \boldsymbol{R}_t Rt 为雷达与地图匹配得到的旋转矩阵,即观测值。
由于预测值与观测值之间的关系为:
R ˇ t ≈ R t ( I + [ δ θ ‾ ] × ) \check{\boldsymbol{R}}_t \approx \boldsymbol{R}_t\left(\boldsymbol{I}+[\delta \overline{\boldsymbol{\theta}}]_{\times}\right) Rˇt≈Rt(I+[δθ]×)因此:
δ θ ‾ = ( δ R ‾ t − I ) ∨ \delta \overline{\boldsymbol{\theta}}=\left(\delta \overline{\boldsymbol{R}}_t-\boldsymbol{I}\right)^{\vee} δθ=(δRt−I)∨
4.3 构建滤波器
构建滤波器,即把融合系统的状态方程和观测方程应用到 Kalman 滤波的五个公式中。
前面推导的方程是连续时间的,要应用于离散时间,需要按照采样时间对其进行离散化。
状态方程离散化,可以写为:
δ x k = F k − 1 δ x k − 1 + B k − 1 w k \delta \boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \delta \boldsymbol{x}_{k-1}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k δxk=Fk−1δxk−1+Bk−1wk其中:
F k − 1 = I 15 + F t T B k − 1 = [ 0 0 0 0 R k − 1 T 0 0 0 0 I 3 T 0 0 0 0 I 3 T 0 0 0 0 I 3 T ] \begin{aligned} \boldsymbol{F}_{k-1} & =\boldsymbol{I}_{15}+\boldsymbol{F}_t T \\ \boldsymbol{B}_{k-1}= & {\left[\begin{array}{cccc} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \boldsymbol{R}_{k-1} T & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 T & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 \sqrt{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{I}_3 \sqrt{T} \end{array}\right] } \end{aligned} Fk−1Bk−1==I15+FtT
0Rk−1T00000I3T00000I3T00000I3T
其中, T T T 为 Kalman 的滤波周期。
注:关于 B k − 1 \boldsymbol{B}_{k-1} Bk−1 的离散化形式,不同资料有差异,但对实际调试影响不大。
对于观测方程,不需要乘以滤波周期,可以直接写出:
y k = G k δ x k + C k n k \boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{G}_k \delta \boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{n}_k yk=Gkδxk+Cknk将以上各变量,带入kalman滤波的五个方程,即可构建完整的滤波器更新流程。
δ x ˇ k = F k − 1 δ x ^ k − 1 + B k − 1 w k P ˇ k = F k − 1 P ^ k − 1 F k − 1 T + B k − 1 Q k B k − 1 T K k = P ˇ k G k T ( G k P ˇ k G k T + C k R k C k T ) − 1 P ^ k = ( I − K k G k ) P ˇ k δ x ^ k = δ x ˇ k + K k ( y k − G k δ x ˇ k ) \begin{aligned} & \delta \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \delta \hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k \\ & \check{\boldsymbol{P}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1} \boldsymbol{F}_{k-1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^T \\ & \boldsymbol{K}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{G}_k \check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^T\right)^{-1} \\ & \hat{\boldsymbol{P}}_k=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{G}_k\right) \check{\boldsymbol{P}}_k \\ & \delta \hat{\boldsymbol{x}}_k=\delta \check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{G}_k \delta \check{\boldsymbol{x}}_k\right) \end{aligned} δxˇk=Fk−1δx^k−1+Bk−1wkPˇk=Fk−1P^k−1Fk−1T+Bk−1QkBk−1TKk=PˇkGkT(GkPˇkGkT+CkRkCkT)−1P^k=(I−KkGk)Pˇkδx^k=δxˇk+Kk(yk−Gkδxˇk)
4.4 Kalman 滤波实际使用流程
4.4.1 位姿初始化
在点云地图中实现初始定位,并给以下变量赋值,
p ^ 0 \hat{\boldsymbol{p}}_0 p^0 :初始时刻位置
v ^ 0 \hat{\boldsymbol{v}}_0 v^0 :初始时刻速度(可以从组合导航获得)
R ^ 0 \hat{\boldsymbol{R}}_0 R^0:初始时刻姿态(也可用四元数,后面不再强调)
4.4.2 Kalman 初始化
a. 状态量 δ x ^ 0 = 0 \delta \hat{\boldsymbol{x}}_0=\mathbf{0} δx^0=0
b. 方差
P ^ 0 = [ P δ p P δ v P δ θ P δ b a P δ b ω ] \hat{\boldsymbol{P}}_0=\left[\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{P}_{\delta p} & & & & \\ & \boldsymbol{P}_{\delta v} & & & \\ & & \boldsymbol{P}_{\delta \boldsymbol{\theta}} & & \\ & & & \boldsymbol{P}_{\delta b_a} & \\ & & & & \boldsymbol{P}_{\delta b_\omega} \end{array}\right] P^0=
PδpPδvPδθPδbaPδbω
初始方差理论上可设置为各变量噪声的平方,实际中一般故意设置大一些,这样可加快收敛速度-----初始方差越大,观测在前几步起的作用就越大,那么收敛就越快。(比如如果认为位置上有 0.1 0.1 0.1 的误差,那么方差应该给 0.01 0.01 0.01)
c. 过程噪声与观测噪声
Q = [ Q a Q ω Q b a Q b ω ] R 0 = [ R δ p R δ θ ] \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{cccc} \boldsymbol{Q}_a & & & \\ & \boldsymbol{Q}_\omega & & \\ & & \boldsymbol{Q}_{b_a} & \\ & & & \boldsymbol{Q}_{b_\omega} \end{array}\right] \quad \quad \boldsymbol{R}_0=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{R}_{\delta p} & \\ & \boldsymbol{R}_{\delta \theta} \end{array}\right] Q=
QaQωQbaQbω
R0=[RδpRδθ]过程噪声与观测噪声一般在 kalman 迭代过程中保持不变(一般噪声的平方项是这里的方差,但是实际上还是要调参)。
4.4.3 惯性解算
按照之前讲解的惯性解算方法,进行位姿更新,该位姿属于先验位姿。
a. 姿态解算:
R ˇ k = R ^ k − 1 ( I + sin ϕ ϕ ( ϕ × ) + 1 − cos ϕ ϕ 2 ( ϕ × ) 2 ) \check{\boldsymbol{R}}_k=\hat{\boldsymbol{R}}_{k-1}\left(I+\frac{\sin \phi}{\phi}(\phi \times)+\frac{1-\cos \phi}{\phi^2}(\boldsymbol{\phi} \times)^2\right) Rˇk=R^k−1(I+ϕsinϕ(ϕ×)+ϕ21−cosϕ(ϕ×)2)其中:
ϕ = ω ‾ k − 1 + ω ‾ k 2 ( t k − t k − 1 ) ω ‾ k = ω k − b ω k ω ‾ k − 1 = ω k − 1 − b ω k − 1 \begin{aligned} & \boldsymbol{\phi}=\frac{\overline{\boldsymbol{\omega}}_{k-1}+\overline{\boldsymbol{\omega}}_k}{2}\left(t_k-t_{k-1}\right) \\ & \overline{\boldsymbol{\omega}}_k=\boldsymbol{\omega}_k-\boldsymbol{b}_{\omega_k} \\ & \overline{\boldsymbol{\omega}}_{k-1}=\boldsymbol{\omega}_{k-1}-\boldsymbol{b}_{\omega_{k-1}} \end{aligned} ϕ=2ωk−1+ωk(tk−tk−1)ωk=ωk−bωkωk−1=ωk−1−bωk−1之前惯性解算的时候的 ω \boldsymbol{\omega} ω 是一个理想状态下的 ω \boldsymbol{\omega} ω,没有考虑各种误差,也就是 bias 的问题,在这里 bias 都作为误差量了,必然是要将 bias 考虑进来的,所以这里的 ω \boldsymbol{\omega} ω 都是要先减去 bias 的。
按照之前讲解的惯性解算方法,进行位姿更新,该位姿属于先验位姿。
b. 速度解算:
v ˇ k = v ^ k − 1 + ( R ˇ k a ‾ k + R ^ k − 1 a ‾ k − 1 2 − g ) ( t k − t k − 1 ) \check{\boldsymbol{v}}_k=\hat{\boldsymbol{v}}_{k-1}+\left(\frac{\check{\boldsymbol{R}}_k \overline{\boldsymbol{a}}_k+\hat{\boldsymbol{R}}_{k-1} \overline{\boldsymbol{a}}_{k-1}}{2}-\boldsymbol{g}\right)\left(t_k-t_{k-1}\right) vˇk=v^k−1+(2Rˇkak+R^k−1ak−1−g)(tk−tk−1)其中:
a ‾ k = a k − b a k a ‾ k − 1 = a k − 1 − b a k − 1 \begin{aligned} & \overline{\boldsymbol{a}}_k=\boldsymbol{a}_k-\boldsymbol{b}_{a_k} \\ & \overline{\boldsymbol{a}}_{k-1}=\boldsymbol{a}_{k-1}-\boldsymbol{b}_{a_{k-1}} \end{aligned} ak=ak−bakak−1=ak−1−bak−1c. 位置解算:
p ^ k = p ˇ k − 1 + v ˇ k + v ^ k − 1 2 ( t k − t k − 1 ) \hat{\boldsymbol{p}}_k=\check{\boldsymbol{p}}_{k-1}+\frac{\check{\boldsymbol{v}}_k+\hat{\boldsymbol{v}}_{k-1}}{2}\left(t_k-t_{k-1}\right) p^k=pˇk−1+2vˇk+v^k−1(tk−tk−1)
4.4.4 Kalman 预测更新
执行kalman五个步骤中的前两步,即:
δ x ˇ k = F k − 1 δ x ^ k − 1 + B k − 1 w k P ˇ k = F k − 1 P ^ k − 1 F k − 1 T + B k − 1 Q k B k − 1 T \begin{aligned} & \delta \check{\boldsymbol{x}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \delta \hat{\boldsymbol{x}}_{k-1}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{w}_k \\ & \check{\boldsymbol{P}}_k=\boldsymbol{F}_{k-1} \hat{\boldsymbol{P}}_{k-1} \boldsymbol{F}_{k-1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}_{k-1} \boldsymbol{Q}_k \boldsymbol{B}_{k-1}^T \end{aligned} δxˇk=Fk−1δx^k−1+Bk−1wkPˇk=Fk−1P^k−1Fk−1T+Bk−1QkBk−1T当然,这需要先根据公式计算 F k − 1 \boldsymbol{F}_{k-1} Fk−1 和 B k − 1 \boldsymbol{B}_{k-1} Bk−1 。
4.4.5 无观测时后验更新
无观测时(无雷达匹配结果),不需要执行kalman剩下的三个步骤,后验等于先验,即:
δ x ^ k = δ x ˇ k P ^ k = P ˇ k x ^ k = x ˇ k \begin{aligned} & \delta \hat{\boldsymbol{x}}_k=\delta \check{\boldsymbol{x}}_k \\ & \hat{\boldsymbol{P}}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k \\ & \hat{\boldsymbol{x}}_k=\check{\boldsymbol{x}}_k \end{aligned} δx^k=δxˇkP^k=Pˇkx^k=xˇk
4.4.6 有观测时的量测更新
执行kalman滤波后面的三个步骤,得到后验状态量。
K k = P ˇ k G k T ( G k P ˇ k G k T + C k R k C k T ) − 1 P ^ k = ( I − K k G k ) P ˇ k δ x ^ k = δ x ˇ k + K k ( y k − G k δ x ˇ k ) \begin{aligned} & \boldsymbol{K}_k=\check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{G}_k \check{\boldsymbol{P}}_k \boldsymbol{G}_k^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{C}_k \boldsymbol{R}_k \boldsymbol{C}_k^T\right)^{-1} \\ & \hat{\boldsymbol{P}}_k=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_k \boldsymbol{G}_k\right) \check{\boldsymbol{P}}_k \\ & \delta \hat{\boldsymbol{x}}_k=\delta \check{\boldsymbol{x}}_k+\boldsymbol{K}_k\left(\boldsymbol{y}_k-\boldsymbol{G}_k \delta \check{\boldsymbol{x}}_k\right) \end{aligned} Kk=PˇkGkT(GkPˇkGkT+CkRkCkT)−1P^k=(I−KkGk)Pˇkδx^k=δxˇk+Kk(yk−Gkδxˇk)
4.4.7 有观测时计算后验位姿
根据后验状态量,更新后验位姿。
p ^ k = p ˇ k − δ p ^ k v ^ k = v ˇ k − δ v ^ k R ^ k = R ˇ k ( I − [ δ θ ^ k ] × ) b ^ a k = b ˇ a k − δ b ^ a k b ^ ω k = b ˇ ω k − δ b ^ ω k \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{p}}_k=\check{\boldsymbol{p}}_k-\delta \hat{\boldsymbol{p}}_k \\ & \hat{\boldsymbol{v}}_k=\check{\boldsymbol{v}}_k-\delta \hat{\boldsymbol{v}}_k \\ & \hat{\boldsymbol{R}}_k=\check{\boldsymbol{R}}_k\left(\boldsymbol{I}-\left[\delta \hat{\boldsymbol{\theta}}_k\right]_{\times}\right) \\ & \hat{\boldsymbol{b}}_{a_k}=\check{\boldsymbol{b}}_{a_k}-\delta \hat{\boldsymbol{b}}_{a_k} \\ & \hat{\boldsymbol{b}}_{\omega_k}=\check{\boldsymbol{b}}_{\omega_k}-\delta \hat{\boldsymbol{b}}_{\omega_k} \end{aligned} p^k=pˇk−δp^kv^k=vˇk−δv^kR^k=Rˇk(I−[δθ^k]×)b^ak=bˇak−δb^akb^ωk=bˇωk−δb^ωk
4.4.8 有观测时状态量清零
状态量已经用来补偿,因此需要清零。
δ x ^ k = 0 \delta \hat{\boldsymbol{x}}_k=\mathbf{0} δx^k=0后验方差保持不变。
4.4.9 输出位姿
把后验位姿输出给其他模块使用,即输出 p ^ k \hat{\boldsymbol{p}}_k p^k, v ^ k \hat{\boldsymbol{v}}_k v^k, R ^ k \hat{\boldsymbol{R}}_k R^k (或 q ^ k \hat{\boldsymbol{q}}_k q^k)。