IMU误差模型
误差分类
加速度计和陀螺仪的误差可以分为：确定性误差，随机误差。
确定性误差可以事先标定确定，包括：bias，scale ...
随机误差通常假设噪声服从高斯分布，包括：高斯白噪声，bias随机游走...
确定性误差
Bias
理论上，当没有外部作用时，IMU传感器的输出应该为0。但是，实际数据存在一个偏置b。加速度计bias对位姿估计的影响：
Scale
scale可以看成是实际数据和传感器输出值之间的比值。
Nonorthogonality/Misalignment Errors
多轴IMU传感器制作的时候，有制作工艺的问题，会使得xyz轴可能不垂直，如下图所示。
其他确定性误差
Run-to-Run Bias/Scale Factor
In Run (Stability) Bias/Scale Factor
Temperature-Dependent Bias/Scale Factor
...
六面法标定加速度
六面法标定加速度bias和scale factor
六面法是指将加速度计的3个轴分别朝上或者朝下水平放置一段时间，采集6个面的数据完成标定。
如果各个轴都是正交的，那很容易得到bias和scale：
其中，l为加速度计某个轴的测量值，g为当地的重力加速度。
考虑轴间误差的时候，实际加速度和测量值之间的关系为：
水平静止放置6面的时候，加速度的理论值为
对应的测量矩阵L为：
利用最小二乘就能够把12个变量求出来
六面法标定陀螺仪bias和scale factor
和加速度计六面法不同的是，陀螺仪的真实值由高精度转台提供，这里的6面是指各个轴顺时针和逆时针旋转。
温度相关的参数的标定
标定方法
目的：这个标定的主要目的是对传感器估计的bias和scale进行温度补偿，获取不同温度时bias和scale的值，绘制成曲线。
两种标定方法：
soak method:控制恒温室的温度值，然后读取传感器数值进行标定
ramp method：记录一段时间内线性升温和降温时传感器的数据来进行标定。
IMU随机误差
高斯白噪声
IMU数据连续时间上受到一个均值为0，方差为
，各个时刻之间相互独立的高斯过程
:
其中
表示狄拉克函数
实际上，IMU传感器获取的数据为离散采样，离散和连续高斯白噪声的方差之间存在如下转换关系：
即
其中
也就是说高斯白噪声的连续时间到离散时间之间差一个
, 
是传感器的采样时间。
Bias随机游走
通常用维纳过程（wiener process）来建模bias随时间连续变化的过程，离散时间下称之为随机游走。
其中
是方差为1的白噪声
同样，离散和连续时间的转换
即
其中：
bias随机游走的噪声方差从连续时间到离散之间需要乘以。
IMU随机误差的标定
艾伦方差标定（random walk noise）
Allan方差法是20世纪60年代由美国国家标准局的David Allan提出的，它是一种基于时域的分析方法。
具体的流程如下：
保持传感器绝对静止获取数据
对数据进行分段，设定时间段的时长，如下图所示
将传感器数据按照时间段进行平均
计算方差，绘制艾伦曲线
得到的艾伦曲线如下图所示
Allan方差的验证
仿真数据
制作一个仿真数据集。设定，加速度的高斯白噪声方差设定为0.019，陀螺仪的高斯白噪声方差为0.015.加速度bias的随机游走噪声方差设定为
，陀螺仪的bias随机游走噪声设定为
加速度的艾伦方差曲线如下：
加速度计的误差模型
导航系G为东北天，
理论测量值为：
如果考虑高斯白噪声，bias，以及尺度因子，则为：
通常假设尺度因子为单位矩阵
陀螺仪的数学模型
陀螺仪的误差模型
考虑尺度因子，高斯白噪声，以及bias，陀螺仪的误差模型如下：
低端传感器，考虑加速度对陀螺仪的影响，即g-灵敏度
陀螺仪受四种噪声的影响分别如下图所示
运动模型离散时间处理
VIO中的IMU模型
忽略scale影响，只考虑白噪声和bias随机游走：
上标g表示gyro，a表示acc，w表示在世界坐标系world，b表示imu机体坐标系body。IMU的真实值为，a，测量值为
，
P(ose), V(elocity), Q(uaternion)对时间的导数可以写成
连续时间下IMU运动模型
根据上面的导数关系，可以从第i时刻的PVQ，通过对IMU的测量值进行积分，得到第j时刻的PVQ：
运动模型的离散积分——欧拉法
使用欧拉法，即两个相邻时刻k到k+1的位姿是用第k时刻的测量值a，w来计算
其中
运动模型的离散积分——中值法
使用mid-point方法，即两个相邻时刻k到k+1的位姿是用两个时刻的测量值a, 的平均值来计算
其中
IMU数据仿真
仿真
思路1：指定轨迹方程，求一阶导得到速度，角速度，求二阶导得到加速度
思路2：已有pose轨迹，不知道方程，利用B-Spline产生IMU数据
旋转基础知识
旋转积分的几种方式
四元数的形式：
SO3形式：
欧拉角形式：
其中
表示将IMU body坐标系下的角速度转换成欧拉角速度
问题
inertial frame下的一个点旋转到body坐标系，用欧拉角如何表示？仿真数据中旋转矩阵用欧拉角来表示很方便
step1、绕着惯性坐标系的z轴旋转，得到新的坐标系
step2、绕着新坐标系的y轴旋转得到坐标系
step3、绕着新坐标系的x轴旋转得到坐标系
，就是我们的body坐标系
综合起来，得到
欧拉角速度和body角速度的转换
上式取逆就能得到body rate to euler rate的变换
仿真代码
IMU仿真
定义imu body坐标系的位置方程，椭圆，圆形等等
定义imu body坐标系在惯性系下的欧拉角方程
求导得到角速度，加速度
设置噪声参数，利用imu的模型产生数据