注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
一、离散时间博里叶变换性质
1、在以下讨论中，采用如下符号来表明一个信号及其博里叶变换的一对关系，即
一）、离散时间博里叶变换的周期性
1、离散时间博里叶变换对w来说总是周期，其周期为2π，即
二）、线性性质
1、若
且
则
三）、时移和频移性质
1、若
则
和
四）、共轭与共轭对称性
1、若
则
同时，若x[n]是实值序列，那么气变换时共轭对称，即
据此可知，RE{X(ejw)}是w的偶函数，而IM{X(ejw)}是w的奇函数。同理，X(ejw)的模式w的偶函数，相角是w的奇函数。另外，进一步可得
和
这里Ev和Od分别表示x[n]的欧布和奇部。
五）、差分与累加
1、一次差分的博里叶变换
设x[n]的博里叶变换为X(ejw)。那么根据1线性和时移性质，一次差分信号x[n]-x[n-1]的博里叶变换是
2、除次之外，还会涉及到更多的项，其紧缺关系是
其中，右边的冲激串反映了累加过程中可能出现的直流或平均值。
六）、时间反转
设信号x[n]的频谱为X(ejw)，开来y[n]=x[-n]的变换Y(ejw)。可得
七）、时域扩展
1、若令k是一个正整数，并且定义
即
八）、频域微分
1、设
对上式两边微分，可得
九）、帕斯瓦尔定理
1、若x[n]和X(ejw)是一对博里叶变换，则
上式的左边的量就是信号x[n]的总能量，怕搜娃儿定理表明这个总能量可以在离散时间频率的2π区间上用积分每单位频率上的能量|X(ejw)|2/2π来回的。|X(ejw)|2称为信号x[n]的能量密度谱。
二、卷积性质
1、若x[n]，h[n]和y[n]分别是某一线性时不变系统的输入、单位脉冲响应和输出，而有
那么
其中，X(ejw)，H(ejw)和Y(ejw)分别是x[n]，h[n]和y[n]的博里叶变换。
2、不是每一个线性时不变系统都有一个频率响应。然而，若一个线性时不变系统是稳定的，那么它的单位脉冲响应是对决可和的，即
因此，对稳定系统而言，频率响应总是收敛的。
三、相乘性质
1、考虑y[n]等于x1[n]和x2[n]的乘积，它们的博里叶变换分别是Y(ejw)，X1(ejw)和X2(ejw)那么
推理可得
上式就相应于X1(ejw)和X2(ejw)的周期卷积，并且在这个式子中的积分可以再任意2π长度的区间内进行。卷积的一般形式(积分区间从-∞到+∞)常称为非周期卷积，以与周期军妓相区分。
四、博里叶变换性质和基本博里叶变换对列表
1、博里叶变换性质
2、基本博里叶变换对
五、对偶性
1、连续时间博里叶变换对之间有某种对称性或对偶性存在，但是离散时间博里叶变换对却不存在相应的对偶性。但是离散时间博里叶博里叶级数拱墅之间却存在一种对偶关系。
一）、离散时间博里叶级数的对欧性
1、离散时间博里叶级数的每个性质都有对应的一个对偶关系存在。
二）、离散时间博里叶变换和连续时间博里叶级数之间的对偶性
1、处理离散时间博里叶级数的对偶性之间，在离散时间博里叶变换和连续时间博里叶级数之间也存在对偶关系
可以注意到，式(5.73)和式（5.76）很相像，式(5.74)和式(5.75)叶很类似。实际上，可以将式(5.73)和式(5.74)看成周期性频率响应X(ejw)的博里叶级数表示。
2、博里叶级数与博里叶变换综合
