傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
定义:满足狄利赫里条件的周期函数,可以变换成以三角函数或指数函数为基对周期函数的无穷级数展开
意义:通过傅里叶级数可以分析各个频率分量和直流分量
x(t)=n=−∞∑∞Xne−jnΩ0t
x(t)=A+n=−∞∑∞[a0cos(nΩ0t)+b0sin(nΩ0t)]
傅里叶变换
定义:将时间变量转换为频率变量,将在时域上分析困难的信号转换为频域上分析
意义:揭示了信号的频域特征,揭示了信号频域特征和时域特征的内在密切联系
X(jΩ)=∫−∞∞x(t)e−jΩtdt
由此我们引出以下几个问题
一个函数进行傅里叶级数展开的条件?
- 周期函数
- 满足狄利赫里条件:
在一个周期内
- 若存在间断点,间断点为有限个
- 极大值和极小值为有限个
- 能量有限
- 对于离散信号,满足绝对可和
- 对于连续信号,满足绝对可积
傅里叶级数与傅里叶级数系数的区别?
x(t)=n=−∞∑∞Xne−jnΩ0t
x(t)=A+n=−∞∑∞[a0cos(nΩ0t)+b0sin(nΩ0t)]
- 傅里叶级数的系数:是频域的表示
Xn=T1∫−2T2Tx(t)e−jnΩ0tdt
周期信号的傅里叶级数展开有什么形式?这些形式有什么区别?
- 指数形式
x(t)=n=−∞∑∞Xne−jnΩ0t
- 三角形式
x(t)=A+n=−∞∑∞[a0cos(nΩ0t)+b0sin(nΩ0t)]
- 区别
周期信号的傅里叶级数展开的指数形式为什么引入负频率?
周期信号的傅里叶级数展开的指数形式有共轭对,引入负频率才可以保证原函数的完整性
什么是吉布斯效应?
一个函数存在间断点,若用傅里叶级数去逼近,当项数趋近于无穷大时,仍然和原函数存在约8.95%的误差,这种现象被称为吉布斯效应
一个函数进行傅里叶变换的条件?
- 能量有限信号,即能量信号(充分条件)
- 对于离散信号,满足绝对可和
- 对于连续信号,满足绝对可积
- 对于周期信号,引入广义函数,即单位冲激序列后,可以进行傅里叶变换
对于一个周期信号,怎么进行傅里叶变换?
- 对于一个周期信号,引入广义函数,即单位冲激序列,把周期信号看成是一个周期内的信号和单位冲激序列做得卷积,再通过对卷积性质做傅里叶变换,即可得到周期信号的傅里叶变换(过程如下)
设一个周期信号的函数为:
ms(t)=n=−∞∑∞m(t−nTs)
将其看成是一个周期内的函数与单位冲激序列的卷积:
ms(t)=n=−∞∑∞m(t−nTs)=m(t)∗n=−∞∑∞δ(t−nTs)
由卷积的性质可知:
x1(t)⋅x2(t)↔2π1X1(jΩ)∗X2(jΩ)
x1(t)∗x2(t)↔X1(jΩ)⋅X2(jΩ)
设
m(t)↔M(jΩ)
而单位冲激序列的傅里叶变换为:
δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nTs)↔δT(jΩ)=Ts1n=−∞∑∞δ(Ω−nΩs)
因此此周期函数的傅里叶变换为:
Ms(jΩ)=M(jΩ)⋅[Ts1n=−∞∑∞δ(Ω−nΩs)]=Ts1n=−∞∑∞M(nΩs)δ(Ω−nΩs)
傅里叶变换对偶性质的意义
傅里叶变换对偶性质揭示了信号在时域和频域的对偶关系,即信号的不同表现形式,但所含的信息是相同的,通过傅里叶变换对偶性质可以简单求得一些信号的傅里叶逆变换
傅里叶级数和傅里叶变换的不同
- 傅里叶级数是周期信号的变换,傅里叶变换是非周期信号的变换
- 引入单位冲激序列后,周期信号可以进行傅里叶变换
- 傅里叶级数是正交级数,是各个频率分量波形的叠加,是时域表示
x(t)=n=−∞∑∞Xne−jnΩ0t
x(t)=A+n=−∞∑∞[a0cos(nΩ0t)+b0sin(nΩ0t)]
- 傅里叶变换是完全的频域表示
X(jΩ)=∫−∞∞x(t)e−jΩtdt
傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系
- 傅里叶变换式傅里叶级数的推导
- 一个满足狄利赫里条件的周期函数,都是表示为以指数函数或三角函数为基对周期函数的无穷级数展开
- 当周期无穷大时,频率的间隔无穷小,离散变成连续,可以得到傅里叶变换
Xn=T1∫−2T2Tx(t)e−jnΩ0tdt
X(jΩ)=T→∞limXn=T→∞limT1∫−2T2Tx(t)e−jnΩ0tdt=∫−∞∞x(t)e−jΩtdt