【信号处理】深刻理解傅里叶级数与傅里叶变换的联系+推导、知识点串讲

一、引入

1.1 信号分解的基本思想

信号分析的基本思想之一是将复杂信号用基本信号表示，这样就能通过简单信号的性质来分析复杂信号。这里要求基本信号应具有：
（1）由这些基本信号能够构成相当广泛的一类信号
（2）线性时不变系统(LTIS)对基本信号的响应应当十分简单，以使其对任意输入信号的响应都有很方便的表达式

举例而言，基本信号可以是冲激函数

$$x\left(t\right)=\int x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)d\tau$$

上式即为连续时间信号的冲激分解，利用的是冲激函数的采样性质

将信号冲激分解后，就可以简单地利用冲激响应来表示输出：
$$y\left(t\right)=\int x\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau$$

1.2 系统特征函数

若系统对一个信号的响应仅为一个常数乘以该信号，则称该信号为此系统的特征函数，这个常数可以视作幅度因子，定义为特征值

1.3 复指数分解

按照1.1的思路，考察具有类似性质的基本信号——复指数
设激励$x\left(t\right)=e^{st}s\in C$，则输出通过上面说的冲激响应表示为：
$$y\left(t\right)=\int h\left(\tau \right)x\left(t-\tau \right)d\tau =e^{st}\int h\left(\tau \right)e^{-s\tau }d\tau =e^{st}H\left(s\right)$$

按照1.2的定义知道，复指数信号为LTIS的特征函数，对任一给定的$s$，常数$H(s)$为特征值；而对于一般的$s$，$H(s)$为关于$s$的函数，称为系统函数，当$s$为纯虚数时，$H(jw)$称为系统频率响应，下面要引入的傅里叶分析都是建立在$s=jw$的基础上，当$s$为一般复数时，考察的是拉普拉斯变换，本文不赘述。

那么复指数是否满足1.1节基本信号的要求呢？

为便于理解，先给出离散信号$x\left(t\right)={\sum }_k{c}_k{e}^{s_{k}t}$，则响应$y\left(t\right)={\sum }_k{c}_{k}H\left(s_k\right)e^{s_{k}t}$，即若信号可以进行复指数分解，则响应可表示为相同复指数的线性组合，系数与输入和频率响应相关

可见，复指数信号完美地符合了1.1的要求，在此基础上就建立起了傅里叶分析。

二、周期信号的傅里叶级数

2.1 谐波复指数集

设$x_0\left(t\right)=e^{j{\omega }_{0}t}$，定义基波频率为${\omega }_0$，基波周期为$T_0$
令谐波信号集：
$${\psi }_k\left(t\right)=e^{jk{\omega }_{0}t},k=0,\pm 1,\pm 2\cdots$$
其中$k=0$时为直流分量，$k=\pm N$时为$N$次谐波分量
注意到谐波复指数集中，每一个信号都可以$T_0$为周期，这是因为：

$$\begin{gathered} {\psi }_k\left(t\right)=e^{j\left(k{\omega }_0\right)t} \\ \Rightarrow T_k=\frac{2\pi }{|k|{\omega }_0}=\frac{T_0}{|k|} \end{gathered}$$

即每经过一个$T_0$，相当于经过了$|k|$个相应的谐波周期。因此，谐波复指数集的线性组合也就以$T_0$为周期：
$$x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\left(1\right)$$

2.2 傅里叶级数

2.2.1 表示形式

在信号$x(t)$可以复指数分解的条件下研究此问题。考察(1)式，现实中绝大多数信号为实信号，因此认为$x(t)$为实数，满足：
$$\overline{x\left(t\right)}=\overline{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}}$$

由$x\left(t\right)=\overline{x\left(t\right)}$导出：
$$x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\overline{a_{-k}}{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

进一步：
$$\begin{gathered} x\left(t\right)=a_0+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[a_k{e}^{j\left(k{\omega }_0\right)t}+\overline{a_k{e}^{j\left(k{\omega }_0\right)t}}\right] \\ =a_0+2\sum _{k=1}^{+\infty }\text{Re}\left\{a_k{e}^{j\left(k{\omega }_0\right)t}\right\} \end{gathered}$$

(1)若$a_k$以极坐标形式给出，即$a_k=A_k{e}^{j{w}_0}$，此时
$$x\left(t\right)=a_0+2\sum _{k=1}^{+\infty }{A}_k\cos \left[\left(k{\omega }_0\right)t+{\theta }_k\right]\left(2\right)$$

(2)若$a_k$以笛卡尔坐标形式给出，即$a_k=B_k+j{C}_k$，此时
$$x\left(t\right)=a_0+2\sum _{k=1}^{+\infty }\left[B_k\cos \left(k{\omega }_{0}t\right)-C_k\sin \left(k{\omega }_{0}t\right)\right]\left(3\right)$$

对于周期函数，(1)式即为傅里叶级数的复指数形式；(2)式为傅里叶级数的三角形式(极坐标下)；(3)式为傅里叶级数的三角形式(笛卡尔坐标下)。一般地，若信号能展开为傅里叶级数，其表示形式必为(1)(2)(3)之一

2.2.2 收敛条件

并非所有周期信号都可以级数展开，即，并非所有信号都可以进行复指数分解。一般而言，满足Dirchlet条件的信号必可进行傅里叶分析，不满足Dirchlet条件的信号没有傅里叶级数形式，但可能有傅里叶变换。

Dirchlet条件
(1)信号绝对可积
(2)在任何有限区间内，信号只有有限个最值
(3)在任何有限区间内，信号只有有限个不连续点，且每个不连续点处都只有有限值

2.2.3 傅里叶系数

若信号满足Dirchlet条件，必能复指数分解为：

$$x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

现在问题在于傅里叶系数$a_k$的确定，可以采用以下方式求得：
$$e^{-j\left(n{\omega }_0\right)t}x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{j\left(k-n\right){\omega }_{0}t}$$

两边同时在基波周期内积分：
$$\begin{gathered} {\int }_T{e}^{-j\left(n{\omega }_0\right)t}x\left(t\right)dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\int }_T{a}_k{e}^{j\left(k-n\right){\omega }_{0}t}dt \\ \Rightarrow {\int }_T{e}^{-j\left(n{\omega }_0\right)t}x\left(t\right)dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{\int }_T\left[\cos \left(k-n\right)w_{0}t+j\sin \left(k-n\right)w_{0}t\right]dt \end{gathered}$$

2.1节说过，谐波复指数集共同周期是基波周期，而三角函数一个周期内积分为0，在这里$T=|k-n|T_k$，因此等式左边在$k\ne n$时为0，$k=n$时为$T$，即：
$${\int }_T{e}^{-j\left(n{\omega }_0\right)t}x\left(t\right)dt=a_{n}T$$

由于$k=n$，所以改写为：
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_T{e}^{-j\left(k{\omega }_0\right)t}x\left(t\right)dt\left(4\right)$$

此式即为傅里叶系数求解公式。

三、傅里叶变换

3.1 周期矩形脉冲信号

图1

按照(4)式求解其傅里叶系数，得到：
$$a_k=\frac{2E\sin \left(k{\omega }_0{T}_1\right)}{k{\omega }_{0}T}$$

从两个角度审视此式：
(1)视其为关于$k$的函数，即
$$a(k)=\frac{2E\sin \left(k{\omega }_0{T}_1\right)}{k{\omega }_{0}T}$$

此时相当于将傅里叶系数等距离地排列在$k$轴上，因此当$T$趋于无穷时，$|a_k|$趋于0，即非周期信号的傅里叶系数幅度趋于0，正因如此，在幅度频谱中就看不出任何信息，所以对于非周期信号，不能仅关注$a_k$
(2)视其为包络线的采样

图2

此时，视为：
$$a_{k}T=\frac{2E\sin \left(\omega T_1\right)}{\omega }{\mid }_{w=k{w}_0}^{}$$

考虑关于$w$的函数$f\left(w\right)=\frac{2E\sin \left(\omega T_1\right)}{\omega }$，$a_{k}T$就表示对$f(w)$上$w=k{w}_0$的位置进行采样。显然上面的采样间隔为$w_0=2\pi /T$，因此随着$T$不断增大，就出现了图2(a)->©取样变密的现象

重点理解的地方来了！！

注意这里$T$趋于无穷时，$|a_k|$依然趋于0，但可见的是$|a_k|T$是有限值(落在$f(w)$上)，因此$|a_k|T$的意义就是在$|a_k|$趋于0的情况下，通过T的加权作用，在一个有限的范围内显示出$|a_k|$间的相对大小关系，简言之，$|a_k|T$把肉眼不可见的非周期信号的傅里叶系数放大到肉眼可见，这其实就是傅里叶变换的引入基础。

3.2 傅里叶变换对

从3.1节知道，傅里叶变换的出发点，就是傅里叶系数的幅度加权与包络采样，因此：
$$X\left(w\right){\mid }_{w=k{w}_0}^{}=a_{k}T$$

从而，
$$X\left(w\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x\left(t\right)e^{-jwt}dt\left(5\right)$$

代入$x\left(t\right)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$中即得：
$$x\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}X\left(w\right)e^{jwt}dw\left(6\right)$$

(5)(6)式合称为一对傅里叶变换对，(5)式称为傅里叶变换积分

四、傅里叶级数与傅里叶变换的联系

4.1 信号三参数

这里定义信号的三参数为幅度、初相、频率(或角频率)，在傅里叶分析中，只要确定组成信号的所有复指数信号的三参数，就可以完全表征。无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，事实上都是在求一个包含三参数的表达式来表示一个信号。

在傅里叶级数展开中，傅里叶系数表示了在频率$w=k{w}_0$时复指数信号的幅度和相位；在傅里叶变换中，傅里叶积分$X(w)$表示了全频率复指数信号的三参数信息——可以认为是公式化的频谱

具体来说，列于下表：

	幅度	相位	频率
$a_k$	绝对值	绝对值
$X(w)$	加权相对值	绝对值	绝对值

事实上，不应该以信号的周期与否来割裂傅里叶变换与傅里叶级数。换言之，周期信号与非周期信号都有相应的傅里叶变换和傅里叶系数，只不过周期信号的傅里叶变换为冲激函数的线性组合，非周期信号的傅里叶系数趋于0，但有相对大小。

4.2 几何直观

图3 傅里叶变换

图4 傅里叶级数

几何直观上，傅里叶变换是连续函数，因为其对象是全频率；傅里叶级数是离散的，因为其对象是采样的部分频率。

最后
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