【概率论】期末复习笔记：数理统计学的基本概念

一、总体与样本

总体：研究对象的全体或研究对象的某项（或某些）数量指标的全体，用$X$表示（正态总体：$X\text{~}N(\mu ,{\sigma }^2)$）
个体：总体的每个元素
有限总体：含有有限个个体的总体
无限总体：含有无限个个体的总体
总体分布：数量指标$X$取不同值的比率（是客观存在的）

样本/子样：总体中取得的一部分个体
样本容量（$n$）：样本中所含个体的个数
抽样：取得样本的过程
抽样法：抽样过程所采取的方法
随机抽样法：每一个个体是从总体中随机抽取的
随机样本：采用随机抽样法得到的样本
$$\text{样本：}n\text{维随机向量}(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\stackrel{\text{观测}}{⟶}\text{样本值：一组具体的实数}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$简单随机样本：各$X_i$与$X$同分布且相互独立（不做特殊声明，样本均指简单随机样本）
简单随机抽样：获得简单随机样本的方法
简单随机样本$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的分布函数：设总体$X$的分布函数为$F(x)$，则样本的分布函数为 F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = P { X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , ⋯   , X n ≤ x n } = ∏ i = 1 n P { X i ≤ x i } = ∏ i = 1 n F ( x i ) F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,\cdots,X_n\le x_n\}=\prod\limits_{i=1}^n P\{X_i\le x_i\}=\prod\limits_{i=1}^n F(x_i) F(x1​,x2​,⋯,xn​)=P{ X1​≤x1​,X2​≤x2​,⋯,Xn​≤xn​}=i=1∏n​P{ Xi​≤xi​}=i=1∏n​F(xi​)

• 若总体$X$是连续型随机变量（概率密度为$f(x)$），则样本$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的概率密度为$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i)$
• 若总体$X$是离散型随机变量（分布律为 P { X = a i } = p i P\{X=a_i\}=p_i P{ X=ai​}=pi​），则样本$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的分布律为 P { X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯   , X n = x n } = ∏ i = 1 n P { X = x i } P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=\prod\limits_{i=1}^n P\{X=x_i\} P{ X1​=x1​,X2​=x2​,⋯,Xn​=xn​}=i=1∏n​P{ X=xi​}

二、样本数据的整理

1. 样本频数分布与频率分布

样本频数分布：样本值中不同数值在样本值中出现的频数（即次数）
样本频率分布：样本值中不同数值在样本值中出现的频率（即次数/样本容量）
设样本值中不同的数值记为$x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_l^{\ast }$（递增），相应的频数为$m_1,m_2,\cdots ,m_l$（$\sum _{i=1}^l{m}_i=n$），则样本频数分布表：

指标$X$	$x_1^{\ast }$	$x_2^{\ast }$	$\cdots$	$x_l^{\ast }$
频数$m_i$	$m_1$	$m_2$	$\cdots$	$m_l$

样本频率分布表：

指标$X$	$x_1^{\ast }$	$x_2^{\ast }$	$\cdots$	$x_l^{\ast }$
频率$\frac{m_i}{n}$	$\frac{m_1}{n}$	$\frac{m_2}{n}$	$\cdots$	$\frac{m_l}{n}$

如果总体$X$是离散型随机变量，则事件 { X = x i ∗ } \{X=x_i^*\} { X=xi∗​}的频率$\frac{m_i}{n}$应接近其发生的概率$p_i$。
如果总体$X$是连续型随机变量，那么事件 { X = x i ∗ } \{X=x_i^*\} { X=xi∗​}发生的概率都是$0$，此时考察样本频率分布意义不大，需要考察样本的频率直方图。

2. 频率直方图

设总体$X$是一个连续型随机变量，具有概率密度$f(x)$，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是来自总体$X$的一个样本值。作频率直方图的方法为：

1. 整理数据：把样本值$x_1,x_2,\cdots ,x_n$从小到大排序得$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)}$。

2. 分组：在包含所有观测值的区间$[a,b]$中插入一些分点$a=t_0<t_1<\cdots <t_{l-1}<t_l=b$把$[a,b]$分成$l$个小区间：$$\underset{\underset{a}{\uparrow }}{t_0}{t}_1{t}_2\cdots t_{l-1}\underset{\underset{b}{\uparrow }}{t_l}$$一些概念：

   • 组距：小区间的长度$d_i=t_i-t_{i-1}$
   • 组中值：区间的中点
   • 组数：小区间的个数$l$

   一般采取等分（各组的组距相等），此时$d_i=\frac{b-a}{l}$。组距$l$的选取：

   • $n>100$：$l$取$10$到$20$
   • $n\approx 50$：$l$取$5$或$6$

   注意划分原则：要使每个区间内都有样本观测值落入其中。

3. 列分组频率分布表：以$m_i$表示观测值落入$(t_{i-1},t_i]$中的个数（即这个区间或这组的频数），$f_i=\frac{m_i}{n}$为这组的频率，记$y_i=\frac{f_i}{d_i}=\frac{m_i}{n{d}_i}$，将分组整理的数据列成表：

分组	组中值	频数$m_i$	频率$f_i$	$y_i$
$[27,30]$	$28.5$	$8$	$0.105$	$0.035$
$(30,33]$	$31.5$	$10$	$0.132$	$0.044$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

4. 作频率直方图：在$xOy$坐标平面上，分别以$x$轴上各区间$(t_{i-1},t_i]$为底，以$y_i=\frac{f_i}{d_i}$为高画一排竖着的矩形，即得频率直方图。注意，矩形的高度是$y_i=\frac{f_i}{d_i}$而不是频率$f_i$，是要除以组距的，目的是使所有矩形的面积之和为$1$。此时总体$X$落入区间$(t_{i-1},t_i)$的概率$p_i\approx f_i$。
5. 作概率密度曲线：把频率直方图中各矩形边上的中点光滑地联结起来得到一条曲线，当$n$与$l$充分大时，这条曲线近似于$X$的概率密度曲线$y=f(x)$。

3. 经验分布函数

设有样本值$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，其经验分布函数为$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[x_i\le x\right]$$其中$\left[x_i\le x\right]$表示当$x_i\le x$时取$1$，$x_i>x$时取$0$。总结起来，$F_n(x)$就是$n$个样本值中小于等于$x$的$x_i$的个数除以样本容量$n$。换言之，就是小于等于$x$的样本值的个数占总的样本个数的比例。

经验分布函数具有如下性质：
(1) 单调增；
(2) 右连续；
(3) $F_n(-\infty )=0$，$F_n(+\infty )=1$。

如果样本值以频数分布表给出，则经验分布函数$F_n(x)$可具体表达为$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<x_i^{\ast }\\ \frac{m_1+m_2+\cdots +m_i}{n},& x_i^{\ast }\le x<x_{i+1}^{\ast },(i=1,2,\cdots ,l-1)\\ 1,& x\ge x_l^{\ast }\end{array}$$显然$F_n(x)$是阶梯型函数，在每个$x_i^{\ast }$处有一个跳跃。

经验分布函数不仅与样本容量有关，还与得到的样本值$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$有关。

三、统计量

1. 统计量的概念

统计量：设$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$是来自总体$X$的一个样本，$T=g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$为$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的一个实值函数，且$g$中不包含任何未知参数，则称$T$为样本$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的一个统计量。
统计量的观测值：若$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是样本$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的一个观测值，则$t=g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$称为统计量$T$的一个观测值。

2. 几个常用的统计量

设$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$是来自总体$X$的样本，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是这一样本的观测值。

1) 样本均值

样本均值：$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$（其观测值记为$\overline{x}$）

设$E(X)=\mu$、$D(X)={\sigma }^2$存在，则

• $E(\overline{X})=\mu$
• $D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$
• $(p)\underset{n\to \infty }{\lim }\overline{X}=\mu$（有关依概率收敛的定义见【概率论】期中复习笔记（下）：大数定律与中心极限定理）

2) 样本方差和样本标准差

样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2\right)$（其观测值记为$s^2$）
样本标准差：$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$（其观测值记为$s$）
它们是反映样本值分散程度的量。

设$E(X)=\mu$、$D(X)={\sigma }^2$存在，则

• $E(S^2)={\sigma }^2$
• $(p)\underset{n\to \infty }{\lim }{S}^2={\sigma }^2$

3) 样本矩

样本$k$阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$（其观测值记为$a_k$）
样本$k$阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^k$（其观测值记为$b_k$）

显然，$A_1=\overline{X}$，$B_1=0$，$B_2=\frac{n-1}{n}{S}^2$。

设总体$X$的$k$阶原点矩${\alpha }_k=E(X^k)$存在，则

• $E(X^k)={\alpha }_k$
• $(p)\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_k={\alpha }_k$

4) 顺序统计量

设$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$是来自总体$X$的样本，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是这一样本的一个观测值。将观测值$x_1,x_2,\cdots ,x_n$从小到大排列为$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)}$。

定义统计量$X_{(k)}$取值为$x_{(k)}$（$k=1,2,\cdots ,n$），由此得到$n$个统计量$X_{(1)},X_{(2)},\cdots ,X_{(n)}$，且它们满足$X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}$，称$X_{(1)},X_{(2)},\cdots ,X_{(n)}$为该样本的顺序统计量或次序统计量。

最小顺序统计量： X ( 1 ) = min ⁡ { X ( 1 ) , X ( 2 ) , ⋯   , X ( n ) } X_{(1)}=\min\{X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)}\} X(1)​=min{ X(1)​,X(2)​,⋯,X(n)​}
最大顺序统计量： X ( n ) = max ⁡ { X ( 1 ) , X ( 2 ) , ⋯   , X ( n ) } X_{(n)}=\max\{X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)}\} X(n)​=max{ X(1)​,X(2)​,⋯,X(n)​}

5) 样本极差

样本极差：$R=X_{(n)}-X_{(1)}$（其观测值记为$r=x_{(n)}-x_{(1)}$）

6) 样本$p$分位数

样本$p$分位数：对于$0<p<1$，统计量$$M_p=\{\begin{array}{ll}{X}_{(\lceil np\rceil )},& np\text{不是整数}\\ \frac{1}{2}\left(X_{(np)}+X_{(np+1)}\right),& np\text{是整数}\end{array}$$其中$\lceil np\rceil$代表$np$向上取整，它也相当于$np+1$向下取整。
样本中位数：$p=\frac{1}{2}$时的样本中位数（$n$为奇数时等于$X_{\left(\lceil \frac{n}{2}\rceil \right)}$，$n$为偶数时等于$\frac{1}{2}\left(X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right)$）

四、抽样分布

抽样分布：统计量的概率分布

1. $\Gamma$分布

$X$服从参数为$\alpha ,\lambda$的$\Gamma$分布：$X\text{~}\Gamma (\alpha ,\lambda )$，其中$\alpha >0,\lambda >0$

性质：

1. $X\text{~}\Gamma (\alpha ,\lambda )⟹E(X)=\frac{\alpha }{\lambda }$，$D(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
2. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_m$相互独立，且$X_i\text{~}\Gamma ({\alpha }_i,\lambda )$，则$\sum _{i=1}^m{X}_i\text{~}\Gamma \left(\sum _{i=1}^m{\alpha }_i,\lambda \right)$

2. ${\chi }^2$分布

在$\Gamma$分布中取$\alpha =\frac{n}{2}$、$\lambda =\frac{1}{2}$，$\Gamma$分布就是自由度为$n$的${\chi }^2$分布。
$Z$服从自由度为$n$的${\chi }^2$分布：$Z\text{~}{\chi }^2(n)$

性质：

1. $Z\text{~}{\chi }^2(n)⟹E(Z)=n$，$D(Z)=2n$
2. 若随机变量$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_m$相互独立，且$Z_i\text{~}{\chi }^2(n_i)$，则$\sum _{i=1}^m{Z}_i\text{~}{\chi }^2\left(\sum _{i=1}^m{n}_i\right)$
3. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立，且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则随机变量${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2$服从自由度为$n$的${\chi }^2$分布，即${\chi }^2\text{~}{\chi }^2(n)$。特别地，若$X\text{~}N(0,1)$，则$X^2\text{~}{\chi }^2(1)$。

3. $t$分布

$T$服从自由度为$n$的$t$分布：$T\text{~}t(n)$
$t$分布又称为学生氏分布。
$t$分布的概率密度关于$x=0$对称（$\Gamma$分布、${\chi }^2$分布、$F$分布的概率密度都仅在$x>0$时为正），且$\underset{n\to \infty }{\lim }t(x;n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$，故当$n\to \infty$时自由度为$n$的$t$分布收敛于标准正态分布$N(0,1)$。

性质：若$X\text{~}N(0,1)$，$Y\text{~}{\chi }^2(n)$，且$X$与$Y$相互独立，则$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\text{~}t(n)$$

4. $F$分布

$F$服从自由度为$(n_1,n_2)$的$F$分布：$F\text{~}F(n_1,n_2)$

性质：

1. $X\text{~}{\chi }^2(n_1)$，$Y\text{~}{\chi }^2(n_2)$，且$X$与$Y$相互独立，则$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\text{~}F(n_1,n_2)$$
2. $F\text{~}F(n_1,n_2)⟹\frac{1}{F}\text{~}F(n_2,n_1)$（只需在性质1中把$X$和$Y$互换即可证明之）

上述分布的详细定义

1. $\Gamma$分布：若随机变量$X$具有概率密度$$f(x;\alpha ,\lambda )=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$其中$\alpha >0$，$\lambda >0$为常数，则称$X$服从参数为$\alpha ,\lambda$的$\Gamma$分布，记为$X\text{~}\Gamma (\alpha ,\lambda )$。
2. ${\chi }^2$分布：若随机变量$Z$具有概率密度$${\chi }^2(x;n)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$则称$Z$服从自由度为$n$的${\chi }^2$分布，记为$Z\text{~}{\chi }^2(n)$。
3. $t$分布：若随机变量$T$具有概率密度$$t(x;n)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$则称$T$服从自由度为$n$的$t$分布，记为$T\text{~}t(n)$。
4. $F$分布：若随机变量$F$具有概率密度$$f(x;n_1,n_2)=\{\begin{array}{l}\frac{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}\left(\frac{n_1}{n_2}\right){\left(\frac{n_1}{n_2}x\right)}^{\frac{n_1}{2}-1}{\left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)}^{-\frac{n_1+n_2}{2}}\end{array}$$则称$F$服从自由度为$(n_1,n_2)$的$F$分布，记为$F\text{~}F(n_1,n_2)$。

分位数

设随机变量$X$的分布函数为 F ( x ) = P { X ≤ x } F(x)=P\{X\le x\} F(x)=P{ X≤x}。
下侧$p$分位数：对于$0<p<1$，若$x_p$使 P { X ≤ x p } = F ( x p ) = p P\{X\le x_p\}=F(x_p)=p P{ X≤xp​}=F(xp​)=p，则称$x_p$为分布$F(x)$（或随机变量$X$）的下侧$p$分位数。
上侧$\alpha$分位数：对于$0<\alpha <1$，若$x_{\alpha }$使 P { X > x α } = 1 − F ( x α ) = α P\{X>x_\alpha\}=1-F(x_\alpha)=\alpha P{ X>xα​}=1−F(xα​)=α，则称$x_{\alpha }$为分布$F(x)$（或随机变量$X$）的上侧$\alpha$分位数。

上侧$\alpha$分位数=下侧$1-\alpha$分位数；
下侧$p$分位数=上侧$1-p$分位数。

总的来说，上侧$\alpha$分位数就是使得$X$大于它的概率为$\alpha$的那个数。

标准正态分布$N(0,1)$的上侧$\alpha$分位数：用$u_{\alpha }$表示，$1-\Phi (u_{\alpha })=\alpha$；$u_{1-\alpha }=-u_{\alpha }$
$t(n)$分布的上侧$\alpha$分位数：用$t_{\alpha }(n)$表示；$t_{1-\alpha }=-t_{\alpha }$
${\chi }^2(n)$分布的上侧$\alpha$分位数：用${\chi }_{\alpha }^2(n)$表示
$F(n_1,n_2)$分布的上侧$\alpha$分位数：用$F_{\alpha }(n_1,n_2)$表示；$F_{\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_2,n_1)}$

若分布的概率密度函数关于$x=0$对称，则它的上侧$1-\alpha$分位数等于上侧$\alpha$分位数的相反数。以标准正态分布为例，我们知道$\Phi (u_{\alpha })=1-\alpha$，$\Phi (u_{1-\alpha })=\alpha$，则$\Phi (u_{\alpha })+\Phi (u_{1-\alpha })=1$。而$\Phi (u_{\alpha })={\int }_{-\infty }^{u_{\alpha }}\phi (x)\mathrm{d}x={\int }_{-u_{\alpha }}^{+\infty }\phi (x)\mathrm{d}x$，$\Phi (u_{1-\alpha })={\int }_{-\infty }^{u_{1-\alpha }}\phi (x)\mathrm{d}x$，两者之和为$1$，说明前者积分的下限等于后者积分的上限，故$u_{1-\alpha }=-u_{\alpha }$。同理$t_{1-\alpha }=-t_{\alpha }$。

关于$F_{\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_2,n_1)}$，证明如下：设$X\text{~}F(n_1,n_2)$，则 P { X > F α ( n 1 , n 2 ) } = α P\{X>F_\alpha(n_1,n_2)\}=\alpha P{ X>Fα​(n1​,n2​)}=α，$P\left\{\frac{1}{X}<\frac{1}{F_{\alpha }(n_1,n_2)}\right\}=\alpha$，而$\frac{1}{X}\text{~}F(n_2,n_1)$，故$P\left\{\frac{1}{X}<F_{1-\alpha }(n_2,n_1)\right\}=1-(1-\alpha )=\alpha$，所以$\frac{1}{F_{\alpha }(n_1,n_2)}=F_{1-\alpha }(n_2,n_1)$。

正态总体的抽样分布

设$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$是来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的样本，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差，则：

1. $$\overline{X}\text{~}N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$
2. $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}{{\sigma }^2}\text{~}{\chi }^2(n-1)$$
3. $\overline{X}$与$S^2$相互独立
4. $$T=\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu \right)}{S}\text{~}t(n-1)$$

设$(X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1})$，$(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2})$是分别来自$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$的样本（注意方差是相等的），且两样本相互独立，$\overline{X}=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{X}_i$，$\overline{Y}=\frac{1}{n_2}\sum _{i=1}^{n_2}{Y}_i$，$S_{1n_1}^2=\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2$，$S_{2n_2}^2=\frac{1}{n_2-1}\sum _{i=1}^{n_2}{\left(Y_i-\overline{Y}\right)}^2$，则有：

5. $$T=\frac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\text{~}t(n_1+n_2-2)\left(S_W=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^2+(n_2-1)S_{2n_2}^2}{n_1+n_2-2}}\right)$$
6. $$F=\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\frac{S_{1n_1}^2}{S_{2n_2}^2}\text{~}F(n_1-1,n_2-1)$$

解释：

1. 由$E(\overline{X})=\mu$、$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$易得。
2. 需要复杂的线性代数知识才能证明，从略。
3. 从略。
4. 我们知道，$X\text{~}N(0,1)$，$Y\text{~}{\chi }^2(n)$，且$X,Y$独立可以推出$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\text{~}t(n)$。现在我们知道$\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu \right)}{\sigma }\text{~}N(0,1)$，$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\text{~}{\chi }^2(n-1)$，且两者相互独立，而$\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu \right)/\sigma }{\sqrt{(n-1)S^2/{\sigma }^2/(n-1)}}=\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu \right)}{S}$，故$\frac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu \right)}{S}\text{~}t(n-1)$。
5. 需要知道的是$\overline{X}-\overline{Y}\text{~}N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}{\sigma }^2\right)$，因此$U=\frac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\text{~}N(0,1)$；又$V=\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^2}{{\sigma }^2}+\frac{(n_2-1)S_{2n_2}^2}{{\sigma }^2}\text{~}{\chi }^2(n_1+n_2-2)$，故$T=\frac{U}{\sqrt{V/(n_1+n_2-2)}}\text{~}t(n_1+n_2-2)$。
6. 我们知道$\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^2}{{\sigma }_1^2}\text{~}{\chi }^2(n_1-1)$，$\frac{(n_2-1)S_{2n_2}^2}{{\sigma }_2^2}\text{~}{\chi }^2(n_2-1)$，且二者相互独立，于是根据$F$分布的性质有$F=\frac{\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^2}{{\sigma }_1^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_{2n_2}^2}{{\sigma }_2^2}/(n_2-1)}\text{~}F(n_1-1,n_2-1)$。