其中,每一组 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 组成一组曲线的坐标参数,选项的定义和 plot 函数相同(线型、颜色和标记符号等参数,详见 MATLAB 之 二维图形绘制的基本函数和辅助操作)。
当 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 是同长度的向量时,则 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 对应元素构成一条三维曲线。
当 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 是同型矩阵时,则以 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 对应列元素绘制三维曲线,曲线条数等于矩阵列数。
例如,我们绘制空间曲线: { x 2 + y 2 + z 2 = 64 y + z = 0 \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=64 \\y+z=0 \end{matrix}\right. {
x2+y2+z2=64y+z=0
曲线对应的参数方程为 { x = 8 cos t y = 4 2 sin t z = − 4 2 sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π \left\{\begin{matrix}x=8\cos t \\y=4\sqrt{2} \sin t \\z=-4\sqrt{2} \sin t \end{matrix}\right.\begin{matrix},0\le t\le 2\pi \end{matrix} ⎩⎨⎧x=8costy=42sintz=−42sint,0≤t≤2π
程序如下:
t=0:pi/50:2*pi;
x=8*cos(t);
y=4*sqrt(2)*sin(t);
z=-4*sqrt(2)*sin(t);plot3(x,y,z,'p');title('Line in 3-D Space');text(0,0,0,'origin');axis([-10,10,-10,10,-6,6]);xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');
grid;
程序运行结果如下图所示。
二、三维曲面
1. 平面网格坐标矩阵的生成
绘制 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 所代表的三维曲面图,先要在 x y xy xy 平面选定一矩阵区域,假定矩形区域 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d],然后将 [ a , b ] [a,b] [a,b] 在 x x x 方向分成 m m m 份,将 [ c , d ] [c,d] [c,d] 在 y y y 方向分成 n n n 份。
由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线,将区域 D D D 分成 m × n m×n m×n 个小矩形,生成代表每一个小矩形顶点坐标的平面网格坐标矩阵,最后利用有关函数进行绘图即可。
在上述程序段中,矩阵 X 的 X的 X的 每一行都是向量 x x x, 行数等于向量 y y y 的元素的个数,矩阵 Y Y Y 的每一列都是向量 y y y,列数等于向量 x x x 的元素的个数。
于是 X X X 和 Y Y Y相同位置上的元素 ( X ( i , j ) , Y ( i , j ) (X(i, j),Y(i, j) (X(i,j),Y(i,j) 恰好是区域 D D D 的 ( i , j ) (i, j) (i,j) 网格点的坐标。若根据每一个网格点上的 x 、 y x、y x、y坐标求函数值 z z z,则得到函数值矩阵 Z Z Z。
显然, X 、 Y 、 Z X、Y、Z X、Y、Z 各列或各行所对应坐标,对应于一条空间曲线,空间曲线的集合组成空间曲面。
(2) 利用 meshgrid 函数生成。
x=a:dx:b;
y=c:dy:d;[X,Y]=meshgrid(x,y);
程序段运行后,所得到的网格坐标矩阵 X 、 Y X、Y X、Y与方法(1)得到的相同。当 x = y x=y x=y 时,meshgrid 函数可写成 meshgrid(x)。
为了说明网格坐标矩阵的用法,下面举一个例子, 该例子巧妙地利用网格坐标矩阵来解不定方程。
例如,已知 6 < x < 30 , 15 < y < 36 6<x<30,15<y<36 6<x<30,15<y<36,我们求不定方程 2 x + 5 y = 126 2x+5y=126 2x+5y=126 的整数解。
一般情况下, x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 是同型矩阵。 x 、 y x、y x、y 是网格坐标矩阵, z z z 是网格点上的高度矩阵, c c c 称为色标(color scale)矩阵,用于指定曲面的颜色。
在默认情况下,系统根据 c c c 中元素大小的比例关系,把色标数据变换成色图矩阵中对应的颜色。
当 c c c 省略时,MATLAB 认为 c = z c=z c=z,亦即颜色的设定正比于图形的高度,这样就可以得出层次分明的三维图形。
当 x 、 y x、y x、y 省略时,把 z z z 矩阵的列下标当作 x x x 轴坐标,把 z z z 矩阵的行下标当作 y y y 轴坐标,然后绘制三维曲面图。
当 x 、 y x、y x、y 是向量时,要求 x x x 的长度等于 z z z 矩阵的列数, y y y 的长度等于 z z z 矩阵的行数, x 、 y x、y x、y 向量元素的组合构成网格点的 x 、 y x、y x、y 坐标, z z z 坐标则取自 z z z 矩阵,然后绘制三维曲面图。
例如,我们绘制三维曲面图 z = sin y cos x z=\sin y\cos x z=sinycosx。
例如,我们分析 z = x 2 − 2 y 2 z=x^{2} -2y^{2} z=x2−2y2 构成的曲面形状及与平面 z = a z=a z=a 的交线。
程序如下:
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;%第一个曲面坐标
a=input('a= ');
z2=a*ones(size(x));%第二个曲面坐标
subplot(1,2,1);mesh(x,y,z1);
hold on;mesh(x,y,z2);%分别画出两个曲面
v=[-10,10,-10,10,-100,100];%第一子图的坐标设置
axis(v);
grid;
hold off;
r0=abs(z1-z2)<=1;%求两曲面z坐标差小于1的点
xx=r0.*x;
yy=r0.*y;
zz=r0.*z2;%求这些点上的x、y、z坐标,即交线坐标
subplot(1,2,2);plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'*');%在第二子图画出交线
axis(v);%第二子图的坐标设置
grid;
程序运行时,如果我们输入 a = − 25 a=-25 a=−25,所得三维曲面图和曲面的交线如下图所示。当我们输入的 a a a 不同时,曲面的交线就会发生变化。
此外,还有两个和 mesh 函数相似的函数,即带等高线的三维网格曲面函数 meshc 和带底座的三维网格曲面函数 meshz。其用法与 mesh 类似,不同的是 meshe 还在 x y xy xy 平面上绘制曲面在 z z z 轴方向的等高线,meshz 还在 x y xy xy 平面上绘制曲面的底座。
该函数将产生 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) (n+1)×(n+1) (n+1)×(n+1) 矩阵 x 、 y 、 z x、 y、z x、y、z,采用这 3 个矩阵可以绘制出圆心位于原点、半径为 1 的单位球体。若在调用该函数时不带输出参数,则直接绘制所需球面。 n n n 决定了球面的圆滑程度,其默认值为 20。若 n n n 值取得较小,则将绘制出多面体表面图。
cylinder 函数的调用格式如下:
[x,y,z]=cylinder(R,n)
其中, R R R 是一个向量,存放柱面各个等间隔高度上的半径, n n n 表示在圆柱圆周上有 n n n 个间隔点,默认有 20 个间隔点。例如:
>>cylinder(3)
将生成一个圆柱。又例如:
>>cylinder([10,0])
将生成一个圆锥,而执行下列命令:
>> t=0:pi/100:4*pi;>> R=sin(t);>>cylinder(R,30);
将生成一个正弦型柱面。另外,生成矩阵的大小与 R R R 向量的长度及 n n n 有关。其余用法与 sphere 函数相同。
MATLAB 还有一个 peaks 函数,称为多峰函数,常用于三维曲面的演示。该函数可以用来生成绘图数据矩阵,矩阵元素由以下函数在矩形区域 [ − 3 , 3 ] × [ − 3 , 3 ] [-3,3]×[-3,3] [−3,3]×[−3,3] 的等分网格点上的函数值确定。 f ( x , y ) = 3 ( 1 − x 2 ) e − x 2 − ( y + 1 ) 2 − 10 ( x 5 − x 3 − y 5 ) e − x 2 − y 2 − 1 3 e − ( x + 1 ) 2 − y 2 f(x,y)=3(1-x^{2})e^{-x^{2}-(y+1)^{2}}-10(\frac{x}{5}-x^{3}-y^{5})e^{-x^{2}-y^{2}}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^{2}-y^{2}} f(x,y)=3(1−x2)e−x2−(y+1)2−10(5x−x3−y5)e−x2−y2−31e−(x+1)2−y2
例如:
z=peaks(30);
将生成一个 30 × 30 30×30 30×30 的矩阵 z z z,即分别沿 x x x 和 y y y 方向将区间 [ − 3 , 3 ] [-3,3] [−3,3] 等分成 29 份,并计算这些网格点上的函数值。默认的等分数是 48,即 p=peaks 将生成一个 49 × 49 49×49 49×49 的矩阵 p p p。也可以根据网格坐标矩阵 x 、 y x、y x、y 重新计算函数矩阵。例如:
>>[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);>> z=peaks(x,y);
生成的数值矩阵可以作为 mesh、surf 等函数的参数而绘制出多峰函数曲面图。另外,若在调用 peaks 函数时不带输出参数,则直接绘制出多峰函数曲面图。
在第一种格式中, y y y 的每个元素对应于一个条形。第二种格式在 x x x 指定的位置上绘制 y y y 中元素的条形图。
bar3h 的用法与 bar3 相同。
2. 三维饼图
pie3 函数绘制三维饼图,常用格式如下:
pie3(x,explode)
其中 x x x 为向量,用 x x x 中的数据绘制一个三维饼图,explode 设置相应的扇形是否偏离整体图形。
3. 三维实心图
fill3 函数可在三维饼图内绘制出填充过的多边形,常用格式如下:
fill3(x,y,z,c)
其中使用 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 作为多边形的顶点,而 c c c 指定了填充的颜色。
4. 三维散点图
scatter3 函数可在三维空间内绘制散点图,常用格式如下:
scatter3(x,y,z,c)
其中 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 必须时等长度的向量,而 c c c 指定了填充的颜色。
5. 三维杆图
stem3 函数绘制离散序列数据的三维杆图,常用格式如下:
stem3(z)stem3(x,y,z)
第一种将数据序列 z z z 表示为从 x y xy xy 平面向上延申的杆图, x x x 和 y y y 自动生成。第二种格式在 x x x 和 y y y 指定的位置上绘制数据序列 z z z 的杆图。
6. 三维箭头图
quiver3 函数绘制三维空间的矢量图,常用格式如下:
quiver3(x,y,z,u,v,w)
其中 x 、 y 、 z 、 u 、 v 、 w x、y、z、u、v、w x、y、z、u、v、w 必须长度一样,绘制三维矢量图。矢量由 ( u , v , w ) (u,v,w) (u,v,w) 决定,所在位置由 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 决定。例如,quiver3(1,2,3,4,5,6) 是以 (1,2,3) 为起点绘制一个矢量,即一个由 (1,2,3) 指向 (4,5,6) 的箭头。