约瑟夫问题及求解方法

什么是约瑟夫问题？

约瑟夫问题是一个经典的数学难题，其一般形式可以描述为：

• n个人（编号从1到n），围坐在一张圆桌周围。
• 从第一个人开始报数，报到m的人出列；
• 然后从出列者的下一个人开始重新报数，报到m的人又出列；
• 依此规律重复进行直到剩余最后一个人。所求即为胜利者的编号。

---

求解方法

1. 枚举

如果使用枚举法列出所有可能的情况计算，时间和空间复杂度会非常大，因此需要寻找更高效的算法。

2. 循环链队

• 从存储结构看，队分为顺序队与链队两种。
  顺序队用一维数组连续存放队列元素，容量固定；
  链队的容量无法预先估计，可动态变化。在链队中我们设一个头结点，头指针始终指向头结点，尾指针指向队尾元素。

• 我们将n个人用链表相连，并采用类似循环队列的方式进行报数。

• 具体来说，每次从当前节点开始逐个报数，当数到m时，删除该节点，从下一个节点重新开始报数。

• 这个过程重复n-1次，最终留下的节点即为胜利者。

注意：在实现过程中还需要采取一些技巧来提高效率。

• 例如，我们可以使用一个指针记录当前轮次的最后一个节点，以减少不必要的遍历。
• 此外，由于链表在删除某个节点时需要先找到该节点的前驱节点，因此我们需要采用双向链表而非单向链表。

---

代码实现

• C语言实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct LNode{
    
    		//链式队列的结点 
	int data;
	struct LNode * next;
}LinkList;
int n = 41, m = 3;

//1、初始化循环单链表
LinkList *init_LinkList(LinkList *L){
    
    
	int i = 1;
	L = (LinkList*)malloc(sizeof(LinkList));
	LinkList *p=L;
	LinkList *pNew;
	
	scanf("%d", &n);
	if(n != 0)	{
    
    
		while(i <= n)		{
    
    
			pNew = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
			pNew->data = i++;
			p->next = pNew;
			p = pNew;
		}
		pNew->next=L->next;
		
	}

	free(L);			//删除头结点 
	return pNew->next;	//返回第一个数的指针
}
void del_sque(int n,LinkList *p){
    
    
	LinkList * t;

	while(p!=p->next)	{
    
    
		for(int i=1;i<m-1;i++)
			p=p->next;
		printf("%d->",p->next->data);

		t=p->next;
		p->next=t->next;
		free(t);

		p=p->next;
	}
	printf("%d\n",p->data);

	return;
}

int main(){
    
    

	LinkList *Head = NULL;
	Head = init_LinkList(Head);		//创建无头结点的循环链表 
	del_sque(n,Head);				//求解约瑟夫问题 
	
	return 0;
}

• python实现：

class ListNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.next = None
        self.prev = None

def josephus(n, m):
    # 构建初始链表
    head = ListNode(1)
    cur = head
    for i in range(2, n+1):
        new_node = ListNode(i)
        cur.next = new_node
        new_node.prev = cur
        cur = new_node
    tail = cur           # 记录末尾节点

    # 进行删除操作，直至只剩1个节点
    cur = head
    while cur != cur.next:
        # 找到m-1个节点
        for _ in range(m-1):
            cur = cur.next
        # 删除当前节点
        prev, next = cur.prev, cur.next
        if prev:
            prev.next = next
        if next:
            next.prev = prev
        # 更新cur指针和tail指针
        cur = next
        tail = prev

    return tail.value  # 返回唯一留下的节点编号

# 测试代码
print(josephus(7, 3))   # 输出4