裴蜀定理又称为贝祖定理，是由中国古代数学家裴书（约公元3世纪）在《孙子算经》中发现并证明的一个定理。
裴蜀定理是指两个整数a和b的最大公约数d，可以写成下面形式的任意整数ax + by(a、b、x、y均为整数)中的最小正整数，其中x和y是未知整数。这个定理被广泛地应用在密码学，数字信号处理等领域中。
证明裴蜀定理的方法可以通过反证法来实现。假设ax+by=c有一组正整数解c，其中c不是a，b的最大公约数d的倍数。因此，存在另一个正整数d'=gcd(c,d)，d'除以d不能整除。定义e=c/d'并将c表示为d'e，则可得：
d' = ax' + by'
d = ax'' + by''
那么，我们可以推导出：
e = cx''/dd' + cy''/dd' = (ae+b)/d'x'' + (be+a)/d'y''
根据这个等式可以看出，ae和be都是d'的倍数，其和也是d'的倍数。但是，因为d'和d没有公因数，所以ae和be只有d的倍数（ax和by也是一样的）。因此，我们得出矛盾：e本应是d的倍数，但它既然可以表示为不同的单部分之和，则必须是d和d'的公共倍数。这与我们一开始的假设不符，因此ax+by=d在所有正整数x和y中具有最小的正整数解，即为裴蜀定理。
此外，扩展欧几里得算法提供了一种求解裴蜀定理的方法，也就是通过逆向的欧几里得算法找到任何一个ax + by = d形式的系数x和y。
1. 如果b=0，则令d=a，x=1，y=0，并返回(d,x,y)
2. 否则，递归调用函数来计算gcd(b, a mod b)，并设得到的结果为(d', x', y')。
3. 根据贝祖等式可以得到以下结果：
d = d'
x = y'
y = x' - (a / b) * y'
4. 返回(d, x, y)
需要注意的是，该算法理论上只能求解a、b互质的情况，但是在实际操作中，我们也可以通过在计算过程中保证x和y的绝对值之和最小来避免出现问题。