二叉堆讲解

二叉堆讲解

大顶堆和小顶堆

从二叉堆的结构说起，它是一棵二叉树，并且是完全二叉树，每个结点中存有一个元素（或者说，有个权值）。
堆性质：父亲的权值不小于儿子的权值（大根堆）。同样的，我们可以定义小根堆。本文以大根堆为例。

由堆性质，树根存的是最大值。

只要涉及到改变堆结构的操作复杂度为$O(log(n))$
查询操作$O(1)$

应用

贪心

合并果子
建筑抢修

维护固定大小的单调序列

假设对于给定序列，最终要输出k最小值，则用大顶堆维护
具体步骤是：

• 如果堆中元素个数没有超过k，则继续添加
• 如果堆中元素个数要超过k了，则添加进去后再弹出堆顶元素
• 最终取个逆序即可。

最小函数值
序列合并

维护不固定大小的单调序列

介绍对顶堆
对顶堆由一个大根堆与一个小根堆组成，小根堆维护大值即前 k 大的值（包含第 k 个），大根堆维护小值即比第 k 大数小的其他数。
这两个堆构成的数据结构支持以下操作：

• 插入元素：若插入的元素大于等于小根堆堆顶元素，则将其插入小根堆，否则将其插入大根堆，然后维护对顶堆；
• 查询第k大元素：小根堆堆顶元素即为所求；（如果查询第k小元素则大根堆维护小值前k小的值，小根堆维护大值比第k小数大的其他数）
• 删除第k大元素：删除小根堆堆顶元素，然后维护对顶堆；
• 维护：当小根堆的大小小于 k 时，不断将大根堆堆顶元素取出并插入小根堆，直到小根堆的大小等于 k；当小根堆的大小大于 k 时，不断将小根堆堆顶元素取出并插入大根堆，直到小根堆的大小等于 k；
• 当k值发生变化要根据新值维护对顶堆。
  黑匣子
  中位数