一、堆和二叉堆的介绍
堆的定义
堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；
[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。
二叉堆的定义
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。
二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(1) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(2) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(3) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2)；
假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(1) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(2) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(3) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);
二、二叉堆的解析
以"最大堆"来进行介绍的。
1. 基本定义
1 template <class T> 2 class MaxHeap{ 3 private: 4 T *mHeap; // 数据 5 int mCapacity; // 总的容量 6 int mSize; // 实际容量 7 8 private: 9 // 最大堆的向下调整算法 10 void filterdown(int start, int end); 11 // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) 12 void filterup(int start); 13 public: 14 MaxHeap(); 15 MaxHeap(int capacity); 16 ~MaxHeap(); 17 18 // 返回data在二叉堆中的索引 19 int getIndex(T data); 20 // 删除最大堆中的data 21 int remove(T data); 22 // 将data插入到二叉堆中 23 int insert(T data); 24 // 打印二叉堆 25 void print(); 26 };
2. 添加
1 /* 2 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) 3 * 4 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 5 * 6 * 参数说明： 7 * start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) 8 */ 9 template <class T> 10 void MaxHeap<T>::filterup(int start) 11 { 12 int c = start; // 当前节点(current)的位置 13 int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置 14 T tmp = mHeap[c]; // 当前节点(current)的大小 15 16 while(c > 0) 17 { 18 if(mHeap[p] >= tmp) 19 break; 20 else 21 { 22 mHeap[c] = mHeap[p]; 23 c = p; 24 p = (p-1)/2; 25 } 26 } 27 mHeap[c] = tmp; 28 } 29 30 /* 31 * 将data插入到二叉堆中 32 * 33 * 返回值： 34 * 0，表示成功 35 * -1，表示失败 36 */ 37 template <class T> 38 int MaxHeap<T>::insert(T data) 39 { 40 // 如果"堆"已满，则返回 41 if(mSize == mCapacity) 42 return -1; 43 44 mHeap[mSize] = data; // 将"数组"插在表尾 45 filterup(mSize); // 向上调整堆 46 mSize++; // 堆的实际容量+1 47 48 return 0; 49 }
insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
3. 删除
1 /* 2 * 最大堆的向下调整算法 3 * 4 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 5 * 6 * 参数说明： 7 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) 8 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 9 */ 10 template <class T> 11 void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end) 12 { 13 int c = start; // 当前(current)节点的位置 14 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 15 T tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点的大小 16 17 while(l <= end) 18 { 19 // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 20 if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1]) 21 l++; // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1] 22 if(tmp >= mHeap[l]) 23 break; //调整结束 24 else 25 { 26 mHeap[c] = mHeap[l]; 27 c = l; 28 l = 2*l + 1; 29 } 30 } 31 mHeap[c] = tmp; 32 } 33 34 /* 35 * 删除最大堆中的data 36 * 37 * 返回值： 38 * 0，成功 39 * -1，失败 40 */ 41 template <class T> 42 int MaxHeap<T>::remove(T data) 43 { 44 int index; 45 // 如果"堆"已空，则返回-1 46 if(mSize == 0) 47 return -1; 48 49 // 获取data在数组中的索引 50 index = getIndex(data); 51 if (index==-1) 52 return -1; 53 54 mHeap[index] = mHeap[--mSize]; // 用最后元素填补 55 filterdown(index, mSize-1); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆 56 57 return 0; 58 }