参考：二叉堆
堆的定义
堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；
[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。
二叉堆的定义
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。
示意图如下：
实现细节
二叉堆一般都通过”数组”来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
性质
假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的右孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);
假设”第一个元素”在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的右孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);
在前面，我们已经了解到：”最大堆”和”最小堆”是对称关系。这也意味着，了解其中之一即可。本节的图文解析是以”最大堆”来进行介绍的。
二叉堆的核心是”添加节点”和”删除节点”，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。
1. 添加
假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：
如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。
/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_filterup(int start)
{
int cur = start; // 当前节点(current)的位置
int parent = (cur - 1 )/2; // 父(parent)结点的位置
int value = m_heap[cur]; // 当前节点(current)的大小
while(cur > 0 && m_heap[parent] < value)
{
// 父结点移动到子结点
m_heap[cur] = m_heap[parent];
// 跳到父结点的下标
cur = parent;
// 获得当前节点的父结点
parent = (parent-1)/2;
}
// 插到指定的位置
m_heap[cur] = value;
}
/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int maxheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -1;
m_heap[m_size] = data; // 将"数组"插在表尾
maxheap_filterup(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1
return 0;
}maxheap_insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
2. 删除
假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到”替换后的树仍然要是最大堆”！
/*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
* 存在 -- 返回data在数组中的索引
* 不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=0;
for(i=0; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i;
return -1;
}
/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
int cur = start; // 当前(current)节点的位置
int left = 2 * cur + 1; // 左(left)孩子的位置
int value = m_heap[cur]; // 当前(current)节点的大小
while(left <= end)
{
// "left"是左孩子，"left+1"是右孩子
if(left < end && m_heap[left] < m_heap[left + 1])
left++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[left+1]
if(value >= m_heap[left])
break; //调整结束
else
{
m_heap[cur] = m_heap[left];
cur = left;
left = 2 * left + 1;
}
}
m_heap[cur] = value;
}
/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
int maxheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == 0)
return -1;
// 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-1)
return -1;
m_heap[index] = m_heap[--m_size]; // 用最后元素填补
maxheap_filterdown(index, m_size-1); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
return 0;
}
maxheap_remove(data)的作用：从最大堆中删除数据data。
当堆已经为空的时候，删除失败；否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后，先用最后的元素来替换被删除元素；然后通过下调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
最终代码
/**
* 二叉堆(最大堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX = 100000;
int n;
static int m_heap[100000]; // 数据
static int m_capacity=100000; // 总的容量
static int m_size=0; // 实际容量(初始化为0)
/*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
* 存在 -- 返回data在数组中的索引
* 不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=0;
for(i=0; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i;
return -1;
}
/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
int cur = start; // 当前(current)节点的位置
int left = 2 * cur + 1; // 左(left)孩子的位置
int value = m_heap[cur]; // 当前(current)节点的大小
while(left <= end)
{
// "left"是左孩子，"left+1"是右孩子
if(left < end && m_heap[left] < m_heap[left + 1])
left++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[left+1]
if(value >= m_heap[left])
break; //调整结束
else
{
m_heap[cur] = m_heap[left];
cur = left;
left = 2 * left + 1;
}
}
m_heap[cur] = value;
}
/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
int maxheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == 0)
return -1;
// 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-1)
return -1;
m_heap[index] = m_heap[--m_size]; // 用最后元素填补
maxheap_filterdown(index, m_size-1); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
return 0;
}
/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_filterup(int start)
{
int cur = start; // 当前节点(current)的位置
int parent = (cur - 1 )/2; // 父(parent)结点的位置
int value = m_heap[cur]; // 当前节点(current)的大小
while(cur > 0 && m_heap[parent] < value)
{
// 父结点移动到子结点
m_heap[cur] = m_heap[parent];
// 跳到父结点的下标
cur = parent;
// 获得当前节点的父结点
parent = (parent-1)/2;
}
// 插到指定的位置
m_heap[cur] = value;
}
/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int maxheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -1;
m_heap[m_size] = data; // 将"数组"插在表尾
maxheap_filterup(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1
return 0;
}
/*
* 打印二叉堆
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
void maxheap_print()
{
int i;
for (i=0; i<m_size; i++)
printf("%d ", m_heap[i]);
}
int main()
{
int Array[MAX];
int i;
scanf("%d", &n);
for(i=0; i<n; i++)
{
scanf("%d", &Array[i]);
maxheap_insert(Array[i]);
}
printf("== 最 大 堆: ");
maxheap_print();
i=85;
maxheap_insert(i);
printf("\n== 添加元素: %d", i);
printf("\n== 最 大 堆: ");
maxheap_print();
i=90;
maxheap_remove(i);
printf("\n== 删除元素: %d", i);
printf("\n== 最 大 堆: ");
maxheap_print();
printf("\n");
return 0;
}