定积分的一些性质

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

奇偶性

设$f$在$[-a,a](a>0)$上连续，则

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{a}f(x)dx,f为偶函数\\ 0,f为奇函数\end{array}$$

证明： 对于${\int }_{-a}^{0}f(x)dx$，令$x=-t$，则

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_a^{0}f(-t)d(-t)=-{\int }_a^{0}f(-t)dt={\int }_0^{a}f(-t)dt={\int }_0^{a}f(-x)dx$$

\qquad 所以原式$={\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(-x)dx$

$={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx$

$=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{a}f(x)dx,f为偶函数\\ 0,f为奇函数\end{array}$

周期性

设$f$是以$T$为周期的连续函数，则对于任意的实数$a$，都有

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$$

证明：
$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{T}f(x)dx+{\int }_T^{a+T}f(x)dx$$

\qquad 令$x=t+T$，则

$${\int }_T^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{a}f(t+T)dt={\int }_0^{a}f(t)dt$$

\qquad 所以

${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{T}f(x)dx+{\int }_T^{a+T}f(x)dx$

$={\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{T}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx$

$={\int }_0^{T}f(x)dx$