矩阵的一些性质

（线代这块儿菜的要死，而矩阵又是基础，单独列出来吧）

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几个定义

• 转置矩阵

  • 转置矩阵相当于把矩阵顺时针旋转了90度之后再180度翻转过来。
  • 例如：a11 a12 a13a1n a11 a21 a31 an1
    a21 a22 a23a2n a12 a22 a32 an2
    的转置矩阵
    an1 an2 an3ann a1n a2n a3n ann

• 单位矩阵

  • 一个n阶的矩阵为单位矩阵，ai j=[i==j]。
  • 设n阶单位矩阵为I，则AI=IA=A。

• 行列式

  • 矩阵A的行列式记为det（A）或|A|。它等于Σ （-1）^t * a（1，p1）a（2，p2）……a（n，pn），其中p是1~n的一种排列，t是这个排列的逆序对个数。
  • 通过上述定义，我们可以发现矩阵的几个简单初等变换：
    • 交换两行/两列：det（A）——> -det(A)；
    • 给其中一行或一列乘上一个非零整数k：det(A)——> k*det(A)；
    • 一行/列的k倍加到另一行/列上：det（A）——>det(A)。
  • 余子式
  • 定义 n阶矩阵A去掉第i行第j列之后剩下的n-1阶矩阵的行列式为矩阵的余子式Ai j
  • 代数余子式
  • 代数余子式 Mi j=（-1）^(i+j) Ai j ；
  • 回过头来，矩阵的行列式是可以在行/列上展开的：
    • 行列式在行上的展开：det=ai j*Mi j（其中i任意一行，j从1~n）；
    • 行列式在列上的展开：det=ai j*Mi j（其中j任意一列，i从1~n）。

  • 从而我们得到了一个递归求解行列式的方法，它的复杂度为O（n！）。

    上三角矩阵

    下三角矩阵

    LU分解：

  • 将一个n阶矩阵A拆分成一个上三角矩阵L和一个下三角矩阵U，A=LU。
  • 一个n阶矩阵存在LU分解当且仅当这个矩阵存在逆矩阵。

  • 分别进行初等变换即可求出上三角矩阵和下三角矩阵。（通常我们所说的那个高斯消元其实就是LU分解）

    LU分解与行列式

  • 我们已经知道了高斯消元的过程就是通过初等变换把当前矩阵分解成一个上三角矩阵的过程，这其中初等变换的过程我们可以记录下来，通过三个性质，保留下行列式，然后我们看看上三角矩阵的性质“
    • 重新回到行列式的定义：det=Σ （-1）^t * a（1，p1）a（2，p2）……a（n，pn）。如果我们想让一个排列对行列式产生非零的贡献，那么对于所有的a（i，pj）都需要满足p j>=i，只有一种情况就是1~n的这个排列，所以上三角矩阵的行列式就是Π ai i。