向量叉乘的几何意义及其模的计算

目的：在传统的向量叉乘计算中，常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小，一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义：
外积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，用符号：$\times$表示。可以定义为：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}(1)$$
假设两个向量$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$外积,它的方向为$\overrightarrow{c}$。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
它的定义也可以写成：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta )\overrightarrow{n}(2)$$
其中$\theta$为两个向量的夹角$0\le \theta \le 180$；$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$分别为两个向量$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$的模长。$\overrightarrow{n}$为垂直于$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$所在平面的法向量，且它满足右手定则。如下图：

上面的定义很好理解。但是一般在代数计算两个向量的叉乘，会用到行列式计算。就如一组单位积$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$;其中$\overrightarrow{a}=a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}$;$\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}$
在计算两个向量的叉乘时候，一般用代数方法为：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k})\times (\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}) \\ =a_0{b}_0(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i})+a_0{b}_1(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j})+a_0{b}_2(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k})+ \\ {a}_1{b}_0(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i})+a_1{b}_1(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j})+a_1{b}_2(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k})+ \\ {a}_2{b}_0(\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i})+a_2{b}_1(\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j})+a_2{b}_2(\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k})(3) \end{gathered}$$

因为基向量$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$两两垂直，且为单位向量。$\overrightarrow{0}$ 表示都为$0$的向量。所以得到：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}(4) \\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}(5) \\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0}(6) \\ \overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}(7) \\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}(8) \\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}(9) \end{gathered}$$
将$(4)(5)(6)(7)(8)(9)$代入公式$(3)$得到如下：
$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-a_0{b}_0\overrightarrow{0}+a_0{b}_1\overrightarrow{k}-a_0{b}_2\overrightarrow{j} \\ -a_1{b}_0\overrightarrow{k}-a_1{b}_1\overrightarrow{0}+a_1{b}_2\overrightarrow{i} \\ +a_2{b}_0\overrightarrow{j}-a_2{b}_1\overrightarrow{i}-a_2{b}_2\overrightarrow{0} \\ =(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\overrightarrow{i}+(a_2{b}_0-a_0{b}_2)\overrightarrow{j}+(a_0{b}_1-a_1{b}_0)\overrightarrow{k}(10) \end{gathered}$$

公式的$(10)$，在日常用行列式计算表达。使用$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_0& a_1& a_2\\ b_0& b_1& b_2\end{array}\right]=(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\overrightarrow{i}+(a_2{b}_0-a_0{b}_2)\overrightarrow{j}+(a_0{b}_1-a_1{b}_0)\overrightarrow{k}$$

因为它为基向量，在欧式几何中，它的表达为：
$$\overrightarrow{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right];\overrightarrow{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right];\overrightarrow{k}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right](11)$$
因此$(11)$代入到$(10)$得到：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_2-a_2{b}_1\\ a_2{b}_0-a_0{b}_2\\ a_0{b}_1-a_1{b}_0\end{array}\right](12)$$

上面是基于基向量的表达，它和上面的公式对应，因此可以得到：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta )\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_2-a_2{b}_1\\ a_2{b}_0-a_0{b}_2\\ a_0{b}_1-a_1{b}_0\end{array}\right](13)$$

在一些应用，经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta )\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_2-a_2{b}_1\\ a_2{b}_0-a_0{b}_2\\ a_0{b}_1-a_1{b}_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_2& a_1\\ a_2& 0& -a_0\\ -a_1& a_0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\end{array}\right]=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}(14)$$

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
假设$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$为二维向量。这样易于解释。因此画图如下：

计算三角形面积为：
$$|area|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta )(15)$$

转化一下表达，因为$sin(\theta )$不好计算，需要计算$cos(\theta )$。

其中$|{\overrightarrow{a}}^{\prime }|=|\overrightarrow{a}|$;$|\overrightarrow{b}|sin(\theta )=|{\overrightarrow{b}}^{\prime }|cos({\theta }^{\prime })$;

$$|area|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta )=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos({\theta }^{\prime })(16)$$
其中${\theta }^{\prime }+\theta =90$.且$|{\overrightarrow{a}}^{\prime }|=|\overrightarrow{a}|$,容易得到公式简化，简化上述等式为：
$$|area|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}||{\overrightarrow{a}}^{\prime }|cos({\theta }^{\prime })=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\cdot {\overrightarrow{a}}^{\prime }=\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{\prime }\cdot \overrightarrow{b}(17)$$

因为${\overrightarrow{a}}^{\prime }$是通过$\overrightarrow{a}$旋转90度得到的，如下图。

因此假设$\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right]$ 得到${\overrightarrow{a}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}-a_1\\ a_0\end{array}\right]$

因此得到公式：
$$2|area|={\overrightarrow{a}}^{\prime }\cdot \overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}-a_1\\ a_0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\end{array}\right]=a_0{b}_1-a_1{b}_0(18)$$

可以看到行列式是面积的表达。
$$2|area|=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_1\\ b_0& b_1\end{array}\right|$$