剑指offer 19.正则表达式匹配

1. 题目描述

请实现一个函数用来匹配包含’. ‘和“*”的正则表达式。模式中的字符’.'表示任意一个字符,而“*”表示它前面的字符可以出现任意次（含0次）。在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串"aaa"与模式"a.a"和"ab*ac*a"匹配，但与"aa.a"和"ab*a"均不匹配。

示例1

输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例2

输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

示例3

输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

示例4

输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。

示例5

输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false

2.解法：动态规划

思路与算法

题目中的匹配是一个「逐步匹配」的过程：我们每次从字符串$p$中中取出一个字符或者「字符 + 星号」的组合，并在$s$中进行匹配。对于中一个字符而言，它只能在$s$中匹配一个字符，匹配的方法具有唯一性；而对于
$p$ 中字符 + 星号的组合而言，它可以在$s$中匹配任意自然数个字符，并不具有唯一性。因此我们可以考虑使用动态规划，对匹配的方案进行枚举。

我们用$f[i][j]$表示$s$的前$i$个字符与$p$ 中的前$j$个字符是否能够匹配。在进行状态转移时，我们考虑$p$的第$j$个字符的匹配情况：

• 如果$p$的第$j$个字符是一个小写字母，那么我们必须在$s$中匹配一个相同的小写字母，即

$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][j-1],& \text{s[i]=p[j]}\\ false,& \text{s[i]=p[j]}\end{array}$$
也就是说，如果$s$的第$i$个字符与$p$的第$j$个字符不相同，那么无法进行匹配；否则我们可以匹配两个字符串的最后一个字符，完整的匹配结果取决于两个字符串前面的部分。

• 如果$p$的第$j$个字符是*那么就表示我们可以对$p$的第$j-1$个字符匹配任意自然数次。在匹配 0 次的情况下，我们有$$f[i][j]=f[i][j-2]$$
  也就是我们「浪费」了一个字符 + 星号的组合，没有匹配任何 $s$中的字符。
  在匹配 1,2,3,⋯ 次的情况下，类似地我们有
  
  如果我们通过这种方法进行转移，那么我们就需要枚举这个组合到底匹配了$s$,中的几个字符，会增导致时间复杂度增加，并且代码编写起来十分麻烦。我们不妨换个角度考虑这个问题：字母 + 星号的组合在匹配的过程中，本质上只会有两种情况：
  • 匹配 $s$ 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配；
  • 不匹配字符，将该组合扔掉，不再进行匹配。
    如果按照这个角度进行思考，我们可以写出很精巧的状态转移方程：
    
  • 在任意情况下，只要$p[j]$是 . ,那么$p[j]$一定成功匹配$s$中的任意一个小写字母。

最终的状态转移方程如下：

其中$matches(x,y)$判断两个字符是否匹配的辅助函数，只有当$y$是 . 或者$x$和$y$本身相同时，这两个字符才会匹配。

细节

动态规划的边界条件为$f[0][0]=true$,即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为 $f[m][n]$其中 $m$和$n$分别是字符串$s$和$p$的长度。。由于大部分语言中，字符串的字符下标是从 00 开始的，因此在实现上面的状态转移方程时，需要注意状态中每一维下标与实际字符下标的对应关系。
在上面的状态转移方程中，如果字符串 p中包含一个「字符 + 星号」的组合（例如 a*），那么在进行状态转移时，会先将 a 进行匹配（当$p[j]$为a时），再将 a* 作为整体进行匹配（当$p[j]$为*时）。然而，在题目描述中，我们必须将 a* 看成一个整体，因此将 a 进行匹配是不符合题目要求的。

3.代码段

class Solution {
    
    
public:
   bool isMatch(string s, string p) {
    
    
       int m = s.size();
       int n = p.size();

       auto matches = [&](int i, int j) {
    
    
           if (i == 0) {
    
    
               return false;
           }
           if (p[j - 1] == '.') {
    
    
               return true;
           }
           return s[i - 1] == p[j - 1];
       };

       vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
       f[0][0] = true;
       for (int i = 0; i <= m; ++i) {
    
    
           for (int j = 1; j <= n; ++j) {
    
    
               if (p[j - 1] == '*') {
    
    
                   f[i][j] |= f[i][j - 2];
                   if (matches(i, j - 1)) {
    
    
                       f[i][j] |= f[i - 1][j];
                   }
               }
               else {
    
    
                   if (matches(i, j)) {
    
    
                       f[i][j] |= f[i - 1][j - 1];
                   }
               }
           }
       }
       return f[m][n];
   }
};

4.复杂度分析

• 时间复杂度：$O(mn)$其中 m和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。我们需要计算出所有的状态，并且每个状态在进行转移时的时间复杂度为 $O(1)$。
• 空间复杂度：$O(mn)$，即为存储所有状态使用的空间。
  参考链接：https://leetcode.cn/problems/regular-expression-matching/solution/zheng-ze-biao-da-shi-pi-pei-by-leetcode-solution/