【计算复杂性理论】证明复杂性（六）：其他证明系统简介

往期文章：

• 【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介
  
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（二）：归结（Resolution）与扩展归结（Extended Resolution）证明系统
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（三）：弗雷格（Frege）与扩展弗雷格（Extended Frege）证明系统
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（四）：相继式演算（Sequent Calculus）
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（五）：量化命题演算（Quantified Propositional Calculus）
  

本文简要介绍一下其他值得一提的证明系统。对于不太重要的系统，只介绍它的强度。

一、布尔程序弗雷格系统：$\mathrm{BPF}$

一般来说弗雷格系统都是定义在德·摩根语言上的。那么我们可不可以给语言中添加新的连接词呢？可以。我们知道，连接词就是布尔函数，所以我们只需要添加一些布尔函数即可。设$L$是不函数的集合，其中函数$f$的元数是$k_f$。$\forall f\in L$，必须满足如下的等价公理（equality axioms）：$$\underset{i=1}{\overset{k_f}{\bigwedge }}{p}_i\equiv q_i\to f(p_1,\cdots ,p_{k_f})\equiv f(q_1,\cdots ,q_{k_f})$$我们称定义在这种语言上的弗雷格系统$F(L)$为相对化弗雷格系统（relatived Frege system），它是可靠的、完备的、推理完备的。

一个布尔程序（Boolean program）是一系列函数符号$f_1,\cdots ,f_s$，每个函数$f_i$由公式$A_i$定义，其中$A_i$中可以出现函数$f_1,\cdots ,f_{i-1}$。设$P$是一个引入了函数$f_1,\cdots ,f_s$的布尔程序，其对应的语言为$L_P$。定义$F(P)$为扩展了相对化弗雷格证明系统$F(L_P)$的系统，它包含了$f_i(p_1,\cdots ,p_{k_f})=A_i(p_1,\cdots ,p_{k_f})$作为新的公理模式。这种$F(P)$称为$BP$弗雷格系统，记作$\mathrm{BPF}$。

定理1 对于永真式，$\mathrm{G}$多项式模拟$\mathrm{BPF}$。

二、等式演算：$\mathrm{EC}$

$\mathrm{EC}$（equational calculus）的每一行是一个等式，符号一般包括$0,1,+,-,\cdot$。这里不赘述它的规则，只简单提一下它在域${\mathbf{F}}_2$（$0,1$和其运算构成的域）上等价于弗雷格系统。

三、零点定理：$\mathrm{NS}$

这个系统用到了一些代数方面的知识和希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）。这里只提一下。

四、分割平面：$\mathrm{CP}$

分割平面（cutting planes, $\mathrm{CP}$）证明的每一行是一个形如$$\sum _i{a}_i{x}_i\ge b$$的整数不等式。公理为$x\ge 0$和$-x\ge -1$，使得$0\le x\le 1$。有三条推理规则：加法规则、乘法规则和除法规则。分割平面系统反驳初始线性不等式组的可解性。

定理2 $\mathrm{CP}$多项式模拟归结（即$\mathrm{CP}{\ge }_p\mathrm{R}$）。

五、隐式证明系统

我们可以把某些关于自然数的全称一阶逻辑命题（universal first-order statement）$\forall x\Phi (x)$转化为一系列关于比特长度$n=1,2,\cdots$来表达的永真式：$\forall x(|x|=n)\Phi (x)$。对于相当多的一阶理论$T$（包括皮亚诺算术和带选择公理的策梅洛-弗兰克尔公理系统），我们可以把这种全称命题在$T$中的证明转化为对应的一系列永真式的较短的命题证明。这些证明是附带在对应理论的证明系统中的证明。即使对于相对较弱的理论，这些证明系统也可能非常强。

设$P,Q$是两个Cook-Reckhow证明系统。在证明系统$Q$中对永真式$\tau$的证明$\pi$是一个字符串。如果它非常长，比如它有$l=2^k$比特，我们可以把隐式地它表示成一个布尔线路$\beta$。$\beta$有$k$个输入，从 i ∈ { 0 , 1 } k i\in{\{0,1\}}^k i∈{ 0,1}k计算$\pi$的第$i$位${\pi }_i$。这样的话，$\beta$的大小可能指数级地小于$\pi$的大小。但是$\beta$本身并不能形成一个Cook-Reckhow证明系统中的证明。因此，我们还需要一个$P$证明$\alpha$来描述$\beta$确实定义了一个有效的$Q$证明$\pi$的事实。有序对$(\alpha ,\beta )$是一个在系统$[P,Q]$中对$\tau$的证明。$[P,Q]$的正式定义这里从略，不过我们可以从上面的描述理解它的它的非正式定义。

对于包含$\mathrm{R}$的证明系统$P$，我们定义隐式$P$（implicit $P$），记作$iP$，为$iP=[P,P]$。

引理3 (i) $\forall P$，$P{\le }_p[P,{\mathrm{R}}^{\ast }]$；(ii) $\forall P{\ge }_p\mathrm{R}$，$iP{\equiv }_p[iP,P]$。

定理4 $iER{\ge }_p\mathrm{G}$。

引理5 $ER{\equiv }_p[\mathrm{R},{\mathrm{R}}^{\ast }]$。

六、OBDD证明系统

OBDD（ordered binary decision diagram，有序二元决策图）是一种特殊的分支程序，用于计算一个布尔函数。在图的每一个路径中，每个变量被访问至多一次并且访问顺序与全局的变量排列顺序一致。对于OBDD $P$，令$f_P$为其定义的布尔函数。

OBDD证明系统是一种反驳证明系统。设$\mathcal{C}$是一个子句集。$\mathcal{C}$的一个OBDD反驳是一个OBDD序列$P_1,\cdots ,P_k$，使得：

• $\forall i\le k$，

  • 要么$P_i$计算了$\mathcal{C}$中一个子句定义的布尔函数，
  • 要么存在$u,v<i$使得$f_{P_u}\wedge f_{P_v}\le f_{P_i}$（即$f_{P_u}\wedge f_{P_v}\to f_{P_i}$）；

• $f_{P_k}$等价于$0$。

引理6 OBDD证明系统多项式模拟归结但不能多项式模拟${\mathrm{LK}}_d$，对于充分大的$d\ge 1$；任何${\mathrm{LK}}_d$都不能多项式模拟OBDD证明系统。不过，弗雷格系统多项式模拟OBDD证明系统。

七、皮亚诺算术作为一种证明系统

皮亚诺算术，记作$\mathrm{PA}$，是一个典型的一阶理论（一阶理论就是某个语言上的公理的集合），不过也可以用于定义有限数学。

$\mathrm{PA}$的语言$L_{\mathrm{PA}}$包含常量$0$和$1$，二元函数符号$+$和$\cdot$，以及二元序关系$\le$；等于号$=$是在一阶逻辑中定义的。$\mathrm{PA}$的标准模型（standard model）是带有对语言的标准解释的自然数集$\mathbb{N}$。$\mathrm{PA}$的公理是由构成Robinson理论$\mathrm{Q}$的有限列表组成的：

1. $x+1\ne 0$；
2. $x+1=y+1\to x=y$；
3. $x+0=x$；
4. $x+(y+1)=(x+y)+1$；
5. $x\cdot 0=0$和$x\cdot 1=x$；
6. $x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x$；
7. 关于离散线性序关系$\le$的一些公理（见https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#Equivalent_axiomatizations）；
8. $x\le y\equiv (\exists z,x+z=y)$；

以及所有（无限个）归纳公理（induction scheme, $\mathrm{IND}$）的示例：$$[A(0)\wedge \forall x(A(x)\to A(x+1))]\to \forall xA(x)$$对于所有$L_{\mathrm{PA}}$公式$A$（它可能包含不同于$x$的自由变量）。

定义有界公式类${\Delta }_0$为满足下列条件的由$L_{\mathrm{PA}}$公式组成的最小的类：

• 包含所有无量词的公式；
• 关于德·摩根语言中的连接词封闭；
• 关于有界量化（bounded quantification）封闭：若$A(\mathbf{x},y)$是一个${\Delta }_0$公式并且$t(\mathbf{x})$是一个$L_{\mathrm{PA}}$项，那么下面的两个公式都是${\Delta }_0$的：$$\exists y\le t(\mathbf{x})A(\mathbf{x},y)\text{ 和 }\forall y\le t(\mathbf{x})A(\mathbf{x},y)$$其中$\exists y\le t(\mathbf{x})A(\mathbf{x},y)$代表$\exists y,y\le t(\mathbf{x})\wedge A(\mathbf{x},y)$，$\forall y\le t(\mathbf{x})A(\mathbf{x},y)$代表$\forall y,y\le t(\mathbf{x})\to A(\mathbf{x},y)$。

定义${\Sigma }_1^0$公式为具有$\exists zB(\mathbf{x},z)$形式的公式，其中$B\in {\Delta }_0$。

数理逻辑中有两个经典事实：

1. 一个$k$元关系$R\subseteq {\mathbb{N}}^k$是递归可枚举（recursively enumerable）的，当且仅当存在一个${\Sigma }_1^0$公式$A(\mathbf{x})$，其中$\mathbf{x}=x_1,\cdots ,x_k$，使得$\forall \mathbf{m}\in {\mathbb{N}}^k$，$\mathbf{m}\in R⟺\mathbb{N}\models A(\mathbf{m})$。
2. 对于所有${\Sigma }_1^0$公式$A(\mathbf{x})$和$\mathbf{m}\in {\mathbb{N}}^k$，$\mathbb{N}\models A(\mathbf{x})⟺\mathrm{PA}⊢A(m_1,\cdots ,m_k)$。

注意$R$是递归的（recursive）当且仅当$R$和${\mathbb{N}}^k\setminus R$都可以在${\Sigma }_1^0$中定义。

对于字符串 w ∈ { 0 , 1 } ∗ w\in{\{0,1\}}^* w∈{ 0,1}∗，定义封闭项$\lceil w\rceil$为：

• $\lceil \epsilon \rceil =0$（其中$\epsilon$是空串）；
• 对于 w = w t − 1 ⋯ w 1 w 0 ∈ { 0 , 1 } t , t ≥ 1 w=w_{t-1}\cdots w_1 w_0\in{\{0,1\}}^t,t\ge 1 w=wt−1​⋯w1​w0​∈{ 0,1}t,t≥1，令$\lceil w\rceil =2^t+\sum _{j=0}^{t-1}{w}_j{2}^j$。

其实就是把$01$串和自然数一一对应。

根据经典事实1，存在一个${\Sigma }_1^0$公式$Taut(x)$，使得 ∀ w ∈ { 0 , 1 } ∗ \forall w\in{\{0,1\}}^* ∀w∈{ 0,1}∗，$w\in \mathrm{TAUT}⟺\mathbb{N}\models Taut(\lceil w\rceil )$。并且，根据经典事实2，$w\in \mathrm{TAUT}⟺\mathrm{PA}⊢Taut(\lceil w\rceil )$。注意对于任何公式$\tau$，$\lceil \tau \rceil$二进制表示的长度均为$O(|\tau |)$。

这允许我们定义命题证明系统$P_{\mathrm{PA}}$为：$$P_{\mathrm{PA}}(\pi )=\tau ⟺\pi \text{是}Taut(\lceil w\rceil )\text{的一个}\mathrm{PA}\text{证明。}$$
引理7 $P_{\mathrm{PA}}$是一个Cook-Reckhow证明系统。

事实上，$P_{\mathrm{PA}}$难以置信地强，后面我们会证明它多项式模拟所有我们介绍过的证明系统。

八、补充

1. 理想证明系统（ideal proof system, $\mathrm{IPS}$）是一种多项式模拟$EF$的证明系统。
2. 我们前面提到的证明系统都针对的是$\mathrm{TAUT}$这个$\mathsf{coNP}$完全问题。其实我们不必拘泥于$\mathsf{coNP}$；不可$3$着色的图组成的语言也是$\mathsf{coNP}$完全的。不可$3$着色的图可以由Hajós演算（Hajós calculus）构造。并且，$EF$有多项式上界当且仅当每个不可$3$着色的图都可以在多项式步内由Hajós演算构造。

参考文献

[1] Krajícěk, Jan. “Proof complexity.” Mathematics and Computation (2019). 这是这篇文章主要的参考文献。这本书可在这里下载。