状态空间表达

系统微分方程为

$m\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=f(t)$

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作拉普拉斯变换

$m{s}^{2}X(s)+BsX(s)+KX(s)=F(s)$

可得传递函数为

$G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{m{s}^2+Bs+K}$

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令状态变量为

$z_1=x$
$z_2=\dot{x}$
可得状态空间表达式
$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{z}}_1\\ {\dot{z}}_2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -K/m& -B/m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1/m\end{array}\right]u\\ & \\ y& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]u\end{array}\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\dot{z}=Az+Bu\\ y=Cz+Du\end{array}$$

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状态空间表达式与传递函数有如下关系（将状态空间表达式进行拉普拉斯变换即可得到）：
$$G(s)=C(SI-A{)}^{-1}B+D$$

传递函数的极点决定系统的稳定性，而状态空间表达式中 $A$ 的特征值决定系统的稳定性