离散数学第一部分数理逻辑

离散数学第一部分数理逻辑

第一章 命题逻辑的基本概念

1.1 命题与联结词

定义梳理

1. 命题：这种非真即假的陈述句称作命题.
2. 真值：真值只取真和假两个值
3. 真命题：真值为真的命题称作真命题
4. 假命题：真值为假的命题称作假命题
5. 简单命题（简单命题）：不能被分解为更简单的命题称作简单命题或原子命题.
6. 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题，称作复合命题.
7. 悖论：既不能为真，也不能为假的陈述句称作悖论，悖论不是命题.
8. 否定联结词￢：设p为命题，复合命题“非p”或（“p的否定”）称作p的否定式，记作￢.符号￢称作否定联结词.规定￢p为真当且仅当p为假.
9. 合取联结词∧：设p、q为两个命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q.∧称作合取联结词.规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真.
10. 析取联结词∨：设p、q为两个命题，复合命题“p或q”称为p与q的析取式，记作p∨q.∨称作析取联结词.规定p∨q为假当且仅当p和q同时为假.
11. 相容或、排斥或：自然语言中的或具有二义性，用它有时具有相容性（即它联结的两个命题可以同时为真），有时具有排斥性（即只有其中一个为真，另一个为假，析取式命题才为真，也就是两个命题不能同时为真），对应分别称作相容或和排斥或.
12. 蕴涵联结词→:设p、q为两个命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴含式的后件.→称作蕴涵联结词.并规定p→q为假当且仅当p为真,q为假.
13. 等价联结词↔:设p、q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式。记作p↔q，↔称作等价联结词。规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。p↔q的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。

1.2 命题公式及其赋值

定义梳理

1. 命题常项（命题常元）：简单命题是命题逻辑中的最基本的研究单位，其真值是确定的，又称作命题常项或命题常元。

2. 命题变项（命题变元）：取值1（真）或0（假）的变元称作命题变项或命题变元。 可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句。

3. 命题常项与命题变项的关系：命题常项是命题，命题变项不是命题。命题变项与命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系。

4. 合式公式：将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑顺序联结起来的符号串，称作合式公式。

5. 一个常用的合式公式：当使用联结词{￢，∧，∨，→，↔}时，合式公式的定义如下：

   1. 单个命题变项是合式公式，并且称为原子命题公式。
   2. 若A是合式公式，则（￢A）也是合式公式。
   3. 若A、B是合式公式，则（A∧B），（A∨B），（A→B），（A↔B）是合式公式。
   4. 有限次地应用（1）—（3）形成的符号串是合式公式。

6. 子公式：设A是合式公式，B为A的一部分，若B也是合式公式，那么称B为A的子公式。

7. 归纳定义、递归定义：上面的5.中的定义方式称作归纳定义或递归定义方式。

8. 元语言符号、对象语言符号：在5.的定义中，引进了A、B等符号，用它们表示任意的合式公式，我们把这些符号称作元语言符号。而某个具体的公式，如p、p∧q、（p∧q）→r等称作对象语言符号。所谓对象语言是指用来描述研究对象的语言，而元语言是指用来描述对象语言的语言，这两种语言是不同层次的语言。做一个不完全恰当的类比，我们中国人学英语，常用汉语去描述英语，这时候英语是对象语言，汉语就成了元语言。

9. n层公式、层次：

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   1. 若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
   2. 称公式A为n+1（n≥0）是指下面的情况之一（B、C为公式）：
      1. A=￢B ，B是n层公式，A是n+1层公式；
      2. A=B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，那么n=max（i，j），A是n+1层公式；
      3. A=B∨C，其中B，C分别为i层和j层公式，那么n=max（i，j），A是n+1层公式；
      4. A=B→C，其中B，C分别为i层和j层公式，那么n=max（i，j），A是n+1层公式；
      5. A=B↔C，其中B，C分别为i层和j层公式，那么n=max（i，j），A是n+1层公式；
   3. 若公式A的层次为k，则称A是k层公式。

10. 赋值（解释）、成真赋值、成假赋值：设p1,p2,p3,…，pn是出现在公式A中的全部命题变项，给p1,p2,p3,…pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A为1，则称这组值为A的成真赋值；若使A为0，则称这组值为成假赋值。

    1. 含n（n≥1）个命题变项的公式共有2ⁿ个不同的赋值。

11. 真值表：将命题公式A在所有赋值情况下的取值情况列成表，我们将这个表称为A的真值表。

    真值表的构造方法如下：

    1. 找出公式中所含的全体命题变项p1，p2，p3，…，pn（如果没有下角标就按照字母顺序表顺序排列），列出2ⁿ个赋值。赋值从000…0开始，然后按照二进制加法每次加1，一次写出每个赋值，直到111…1为止。
    2. 按照从低到高的顺序写出公式的各个层次。
    3. 对应各个赋值计算出各个层次的真值，直到最后计算出公式的真值。

12. 命题公式的分类：根据公式在各种赋值下的取值情况，可以按照下述定义将命题公式进行分类：

    1. 若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A为重言式或永真式。
    2. 若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
    3. 若A不是矛盾式，则称A为可满足式。
    4. 从上面可以看出：
       1. A是可满足式，那么A至少存在一个成真赋值
       2. 重言式一定是可满足式，但可满足式不一定是重言式。如果A是可满足式，而且A至少存在一个成假赋值，那么我们称A为非重言式的可满足式。
       3. 我们可以用真值表来判断公式的类型：
          1. 若真值表最后一列（公式的真值）全为1，则A是重言式；
          2. 若真值表最后一列全为0，则A是矛盾式；
          3. 若真值表最后一列至少有一个1，则A的可满足式。

13. 真值表的所有可能情形：给定n个命题变项，按照合成公式的形成规则，可以形成无穷多种形式各异的公式。但是对含n个不同命题变项的公式的真值表只有2²ⁿ种不同的可能情况（因为对于n个命题变项，共有2ⁿ种赋值，对于每一种赋值，公式的真值又都有2ⁿ种可能，所以运用乘法法则，我们可以得出对于含n个不同命题变项的公式的真值表共有2²ⁿ种不同的可能情况，当然我们这时候忽略了公式不同层次的具体形式），因而必有无穷多个公式具有相同的真值表。

14. 哑元：设公式A,B中共含有命题变项p1,p2,p3…pn，而A或B不全含这些命题变项，例如A中不含pi,pi+1，…pn,i≥2，称这些命题变项为A的哑元。A的取值与哑元无关，因而在讨论A，B是否有相同的真值表时，可以将A，B都看成含p1,p2,p3…pn的命题公式。

第二章 命题逻辑等值演算

2.1 等值式

定义梳理

1. 设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则称A与B是等值的，记作A⇔B。
   1. 注意⇔不是联结符，它是用来说明A与B等值的（A↔B是重言式）的一种记法，因而⇔是元语言符号。不可将↔和⇔混为一谈。
   2. 判断方法：
      1. 最直接的方法是运用真值表法判断A↔B是否为重言式。
2. 代入实例 ：等值式模式中的用元语言符号书写的A,B,C可以替代成任意的公式，替代之后得到的具体的等值式称为等值式模式的代入实例。

定理（定律）梳理

1. 重要等值式模式：

   1. 双重否定律：A⇔￢￢A

   2. 幂等律：A⇔A∨A A⇔A∧A

   3. 交换律：A∨B⇔B∨A A∧B⇔B∧A

   4. 结合律：

      1. （A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）
      2. （A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）

   5. 分配律

      1. ∨对∧的分配律：A∨(B∧C)⇔（A∨B）∧（A∨C）
      2. ∧对∨的分配律：A∧(B∨C)⇔（A∧B）∨（A∧C）

   6. 德摩根律

      1. ￢（A∨B）⇔￢A∧￢B
      2. ￢（A∧B）⇔￢A∨￢B

   7. 吸收律

      1. A∨（A∧B）⇔A
      2. A∧（A∨B）⇔A

   8. 零律

      1. A∨1⇔1
      2. A∧0⇔0

   9. 同一律

      1. A∨0⇔A
      2. A∧1⇔A

   10. 排中律

       A∨￢A⇔1

   11. 矛盾律

       A∧￢A⇔0

   12. 蕴含等值式

       A→B⇔￢A∨B

   13. 等价等值式

       A↔B⇔（A→B）∨（B→A）

   14. 假言易位

       A→B⇔￢B→￢A

   15. 等价否定等值式

       A↔B⇔￢A↔￢B

   16. 归谬论

       （A→B)∧（A→￢B）⇔￢A

对于上面的一些等值式模式，我们可以用韦恩图辅助记忆，如吸收律。公式之间的等值关系具有自反性、对称性和传递性。

2. 置换规则：设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换Φ(A)中的所有出现的A后得到的命题公式。若B⇔A，那么Φ(A)⇔Φ(B)

2.2 析取范式与合取范式

定义梳理

1. 文字、简单析取式、简单合取式：命题变项及其否定统称作文字。仅由有限个文字组成的析取式称为简单析取式。仅由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。

2. 析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式。

3. 合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式。

4. 范式：析取范式和合取范式统称为范式。

5. 极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或按照字典顺序排列，称这样的简单合取式为极小项。每个极小项都有且仅由一个成真赋值，若极小项的成真赋值所对应的二进制数等于十进制数i，就将这个极小项记作m_i

6. 极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或按照字典顺序排列，称这样的简单析取式为极大项。每个极大项都有且仅由一个成假赋值，若极大项的成假赋值所对应的二进制数等于十进制数i，就将这个极大项记作M_i

7. 主析取范式：所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式

8. 主合取范式：所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式。

   主析取范式（主合取范式）像真值表一样，可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息：

   1. 求公式的成真赋值和成假赋值
   2. 判断公式的类型：设公式A中含n个命题变项
      1. A为重言式当且仅当A的主析取范式中含全部2ⁿ个极小项。
      2. A为矛盾式当且仅当A的主合取范式中含全部2ⁿ个极大项。
      3. A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。

定理（定律）梳理

1. 简单析取式的性质：一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。

2. 简单合取式的性质：一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。

3. 析取范式的性质：一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式。

4. 合取范式的性质：一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式。

5. 范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

   求给定公式的范式的步骤为：

   1. 消去联结词→，↔
   2. 用双重否定律消去双重否定符，用德摩根律内移否定词
   3. 使用分配律：求析取范式时使用∧对∨的分配律，求合取范式时使用∨对∧的分配律

6. 极小项与极大项的关系：设m_i与M_i是命题变项含p₁，p₂，p₃…，p_n的极小项和极大项，那么有

   • ￢m_i⇔M_i
   • ￢M_i⇔m_i

7. 主析取范式和主合取范式的存在性定理：任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。

2.3 联结词的完备集

定义梳理

1. n元真值函数:称F:{0,1}ⁿ→{0,1}为n元真值函数.
2. 联结词完备集:设S是一个联结词集合，如果任何n(n≥1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是联结词完备集.
3. 与非式:设p,q是两个命题,复合命题"p与q的否定式"称作p,q的与非式,记作p↑q.即p↑q⇔￢(p∧q).符号↑称作与非联结词.
4. 或非式:设p,q是两个命题,复合命题"p或q的否定式"称作p,q的或非式,记作p↓q.即p↓q⇔￢(p∨q).符号↓称作或非联结词.

定理公式

1. S={￢,∧,∨}是联结词完备集.
   • 推论:以下的联结词集都是联结词完备集:
     • S1={￢,∧,∨,→}
     • S2={￢,∧,∨,→,↔}
     • S3={￢,∧}
     • S4={￢,∨}
     • S5={￢,→}
2. {↑},{↓}都是联结词完备集.

2.4 可满足性问题与消解法

定义梳理

第三章 命题逻辑的推理理论

3.1 推理的形式结构

定义梳理

1. 推理:推理是指从前提出发推出结论的思维过程

2. 前提:前提是已知的命题公式集合

3. 结论:结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式.

4. 设A1,A2,…,AK和B都是命题公式,若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值,或者A1∧A2∧…∧Ak为假,或者当A1∧A2∧…∧Ak为真时B也为真,则称由前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理是有效的或正确的,并称B为有效的结论.

   注意,关于该定义还需作一下三点说明:

   1. 由前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理是否正确与诸前提的排列顺序无关