离散数学——第一章 数理逻辑

第一章 逻辑与证明

1.1.前言

1.1.1.本章概述

命题、连接词、等价命题、逻辑等价式、命题逻辑、谓词、量词、谓词逻辑、逻辑证明

1.2.命题逻辑(Propositional Logic)

1.2.1.命题及其表示法

具有确定真值的陈述句叫做命题(Proposition)。
命题有两种类型：不能分解为更简单的陈述语句的称为原子命题(Atomic Proposition)；
由联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题（Compound Proposition）。
命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示，如 $A$， $B_i$， $[12]$等,这些符号称为命题标识符。

1.2.2.联结词（Connectives、Logical Operator）

$\neg$：否定、非（Negation）
$\wedge$合取、且（Conjunction）
$\vee$：析取、或（Disjunction、Inclusive Or）
$\oplus$:异或（Exclusive Or）
$\rightarrow$：条件语句、蕴含（Implication）
$\leftrightarrow$：双向条件语句、双向蕴含（Bi-implication）

Truth Table

$P$	$Q$	$\neg P$	$P \wedge Q$	$P \vee Q$	$P\oplus Q$	$P \rightarrow Q$	$P \leftrightarrow Q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

条件语句

含义：
a necessary condition for p is q
a sufficient condition for q is p
衍生：
q →p is the converse of p →q — （逆命题）
¬ p → ¬ q is the inverse of p →q （逆否命题）
¬q → ¬ p is the contrapositive of p →q — （否命题）

双条件

含义：
p if and only if q
p is necessary and sufficient for q
if p then q , and conversely
p iff q

联结词优先级（Precedence of Logical Operators ）

Operator	Precedence
$\neg$	1
$\wedge$	2
$\vee$	3
$\rightarrow$	4
$\leftrightarrow$	5

1.2.3.真值表与等价命题

定义 1
在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
n个原子命题，真值表有 $2^n$行，每个原子命题都有T or F 两种指派。

定义 2
给定两个命题公式 $A$ 和 $B$ ，设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为所有出现于 $A$ 和 $B$ 中的原子变元，若给 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 任一组真值指派， $A$ 和 $B$ 的真值都相同，则称 $A$ 和 $B$ 是等价的或逻辑相等的。记作 $A\Leftrightarrow B$ 。
i.e. 等价命题（Equivalent Propositions）
两个命题是等价的，如果它们始终具有相同的真值。

所以，如果我们想证明两个命题 （逻辑相等）Equivalence或者（逻辑不相等）Non-Equivalence，就可以使用真值表来证明。

1.2.4.逻辑等价式

永真式（Tautologies）
定义 1 - 5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $\pmb{T}$ ，则称该命题公式为重言式或永真公式。

永假式（Contradictions）
定义 1 - 5.2
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $\pmb{F}$ ，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。

定义 1 - 5.3
设 $A$ 和 $B$ 为两个命题公式， $A \equiv B$ 当且仅当 $A \leftrightarrow B$ 为一个重言式。

定义 1 - 5.4
当且仅当 $P \rightarrow Q$ 是一个重言式时，我们称“ $P$ 蕴含 $Q$ ”，并记作 $P \Rightarrow Q$ 。

定理 1 - 5.1
任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理 1 - 5.2
设 $P$ 和 $Q$ 为任意两个命题公式， $P \Leftrightarrow Q$ 的充分必要条件是 $P \Rightarrow Q$ 且 $Q \Rightarrow P$ 。

Key Logical Equivalences

命题定律	表达式
对合律 Double Negation Law	$\neg\neg P \equiv P$
幂等律 Idempotent laws	$P \vee P \equiv P , P \wedge P \equiv P$
结合律 Associative Laws	$\begin{aligned}(P \vee Q)\vee R \equiv P \vee (Q \vee R)\\(P \wedge Q)\wedge R \equiv P \wedge (Q \wedge R)\end{aligned}$
交换律 Commutative Laws	$\begin{aligned}P \vee Q \equiv Q \vee P\\P \wedge Q \equiv Q \wedge P\end{aligned}$
分配律 Distributive Laws	$\begin{aligned}P \vee (Q \wedge R) \equiv (P \vee Q)\wedge(P \vee R)\\P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q)\vee(P \wedge R)\end{aligned}$
吸收律 Absorption Laws	$\begin{aligned}P \vee (P \wedge Q) \equiv P\\P \wedge (P \vee Q) \equiv P\end{aligned}$
德·摩根律 DeMorgan’s Law	$\begin{aligned}\neg(P \vee Q) \ \equiv \neg P \wedge \neg Q\\\neg(P \wedge Q) \ \equiv \neg P \vee \neg Q\end{aligned}$
同一律 Identity Laws	$P \vee \pmb{F} \equiv P , P \wedge \pmb{T} \equiv P$
零律 Domination Laws	$P \vee \pmb{T} \equiv \pmb{T} , P \wedge \pmb{F} \equiv \pmb{F}$
否定律 Negation Laws	$P \vee \neg P \equiv \pmb{T} , P \wedge \neg P \equiv \pmb{F}$

More key Logical Equivalences

$P \rightarrow Q\equiv \neg P \vee Q$
$\neg(P \rightarrow Q) \equiv P \wedge \neg Q$
$P \leftrightarrow Q \equiv(P \rightarrow Q) \wedge(Q \rightarrow P)$
$P \leftrightarrow Q \equiv(P \wedge Q) \vee(\neg P \wedge \neg Q)$

1.3.谓词逻辑

1.3.1.谓词的概念与表示

我们用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称，如 $A(b)$ 、 $B(a,b)$ 、 $L(a,b,c)$ 等，表示客体是否具有谓词所表述的那个性质。
单独一个谓词不是完整的命题（谓词没有真假值），我们把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式，如果 $A$ 为 $n$ 元谓词， $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是客体的名称，则 $A(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 就可成为命题。

Predicate can be viewed as propositional functions.
i.e.
P(x) is a propositional function of variable x

1.3.2.命题函数(Propositional Function)与量词(Quantifiers)

引入两种量词(Quantifiers)，
一个用符号 $(\forall x)$ 表示，代表“对所有的 $x$ ”，称为全称量词(Universal Quantifiers)；
另一个用符号 $(\exist x)$ 表示，表示“存在一些 $x$ ”，称为存在量词(Existential Quantifiers)。全称量词和存在量词通称为量词。

量词的优先级：
量词的优先级最高

1.3.3.变元的约束

给定 $\alpha$ 为一个谓词公式，其中有一部分公式形式为 $(\forall x)P(x)$ 或 $(\exist x)P(x)$ 。这里 $\forall$ 和 $\exist$ 后面所跟的 $x$ 叫做量词的指导变元或作用变元， $P(x)$ 叫做相应量词的作用域或辖域。在作用域中 $x$ 的一切出现，称为 $x$ 在 $\alpha$ 中的约束出现， $x$ 也称为被相应量词中的指导变元所约束。在 $\alpha$ 中除去约束变元以外所出现的变元称作自由变元。自由变元可看作是公式中的参数。

设 $P(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元谓词，它有 $n$ 个相互独立的自由变元，若对其中 $k$ 个变元进行约束，则成为 $n-k$ 元谓词。例如， $(\forall x)P(x,y,z)$ 是二元谓词， $(\exist y)(\forall x)P(x,y,z)$ 是一元谓词。

约束变元的改名
一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的， $(\exist x)P(x)$ 和 $(\exist y)P(y)$ 意义相同。因此，我们可以对公式 $\alpha$ 中的约束变元更改名称符号，这种遵守一定规则的更改，称为约束变元的换名。其规则为：
（1）对于约束变元可以换名，其更改的变元名称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中所出现的该变元，在公式的其余部分不变。
（2）换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称。
举例来说，公式 $(\forall x)(P(x)\rightarrow R(x,y))\wedge Q(x,y)$ 可换名为 $(\forall z)(P(z)\rightarrow R(z,y)) \wedge Q(x,y)$

变元的绑定
①变元被赋予某个特定值
②变元被量词约束

1.3.4.谓词演算的等价式与蕴含式

• 命题公式的推广
  命题演算中的等价公式表和蕴含式表都可推广到谓词演算中使用。例如
  $(\forall x)(P(x)\rightarrow Q(x))\Leftrightarrow(\forall x)(\neg P(x)\vee Q(x)) \\ ((\forall x)P(x))\vee(\exist y)R(x,y) \Leftrightarrow \neg(\neg(\forall x)P(x)\wedge \neg (\exist y)R(x,y))$

• 量词与联结词 $\neg$ 之间的关系
  (De Morgan’s Laws for Quantifiers)

$\neg(\forall x)P(x)\Leftrightarrow (\exist x)\neg P(x)$
$\neg(\exist x)P(x)\Leftrightarrow(\forall x)\neg P(x)$

• 量词作用域的扩张与收缩

量词的作用域中如果含有合取项或析取项，则当其中一项为命题时，可将该命题移至量词作用域之外，比如 $(\forall x)(A(x)\vee B) \Leftrightarrow (\forall x)A(x)\vee B$因为在 $B$ 中不出现约束变元 $x$ 。

类似的式子还有
$((\forall x)A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow(\exist x)(A(x)\rightarrow B) \\ ((\exist x)A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow(\forall x)(A(x)\rightarrow B) \\ (B\rightarrow(\forall x)A(x))\Leftrightarrow(\forall x)(B\rightarrow A(x)) \\ (B\rightarrow(\exist x)A(x))\Leftrightarrow(\exist x)(B\rightarrow A(x))$

• 量词与命题联结词之间的一些等价式
  $(\forall x)(A(x)\wedge B(x))\Leftrightarrow(\forall x)A(x)\wedge(\forall x)B(x) \\ (\exist x)(A(x)\vee B(x))\Leftrightarrow(\exist x)A(x)\vee(\exist x)B(x)$

• 量词与命题联结词之间的一些蕴含式
  $(\forall x)A(x)\vee(\forall x)B(x)\Rightarrow(\forall x)(A(x)\vee B(x)) \\ (\exist x)(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow(\exist x)A(x)\wedge(\exist x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\rightarrow B(x))\Rightarrow(\forall x)A(x)\rightarrow(\forall x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\leftrightarrows B(x))\Rightarrow(\forall x)A(x)\leftrightarrows(\forall x)B(x)$

• 嵌套量词
  $(\forall x)(\forall y)A(x,y) \Leftrightarrow (\forall y)(\forall x)A(x,y) \\ (\exist x)(\exist y)A(x,y) \Leftrightarrow (\exist y)(\exist x)A(x,y) \\ \begin{aligned}(\forall x)(\forall y)A(x,y)&\Rightarrow (\exist y)(\forall x)A(x,y) \\ &\Rightarrow(\forall x)(\exist y)A(x,y)\\&\Rightarrow(\exist x)(\exist y)A(x,y)\end{aligned}$

1.3.5.前束范式(拓展内容)

定义 2 - 6.1
一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延申到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。

定理 2 - 6.1
任意一个谓词公式，均和一个前束范式等价。

例题1 化公式 $(\forall x)(\forall y)((\exist z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\rightarrow(\exist u)Q(x,y,u))$ 为前束范式。
解：否定深入
$\begin{aligned}原式&\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(\neg(\exist z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\vee(\exist u)Q(x,y,u))\\&\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exist u)(\neg P(x,z)\vee\neg P(y,z)\vee Q(x,y,u))\end{aligned}$

例题2 化 $\text{wff }D$ ： $(\forall x)\left[(\forall y)P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall y)R(x,y)\right]$ 为前束合取范式。
解：取消多余量词→换名→消去条件联结词→否定深入→量词推到最左边
$\begin{aligned}D&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall y)R(x,y)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall w)R(x,w)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left\{\neg [P(x)\vee(\forall z)q(z,y)]\vee\neg(\forall w)R(x,w)\right\}\\&\Leftrightarrow(\forall x)[\neg P(x)\wedge(\exist z)\neg q(z,y)\vee(\exist w)\neg R(x,w)]\\&\Leftrightarrow(\forall x)(\exist z)(\exist w)[(\neg P(x)\vee\neg R(x,w))\wedge(\neg q(z,y)\vee\neg R(x,w))]\end{aligned}$

1.4.推理规则(Rules of Inference)

1.4.1.有效论证（Valid Arguments)

命题逻辑中的论证是由一串命题( $r_1、r_2、……r_n、s$)构成。
如果称这个论证是有效的，也就得满足，如果前提全为真，则结果也为真。
(An argument in propositional logic is a sequence of propositions.)

$if\quad (s_1\wedge s_2……\wedge s_n)=true,then\quad c=true.$
i.e.
$(s_1\wedge s_2……\wedge s_n)\rightarrow c \equiv T$

更一般地，如果用有效的论证（Valid Arguments从一串premise（ $s_1、s_2、……s_n$）推导出新的一串premise（ $S_1、S_2……S_m$）。
论证（ $S_1、S_2……S_n、C$）也是有效地，因为 $(S_1\wedge S_2……\wedge S_n)\rightarrow C \equiv T$。

1.4.2.命题逻辑中的有效论证（Valid Arguments in Propositional Logic）

1.4.3.谓词演算的推理理论（Rules of Inference for Quantified Statement）

（1）全称指定规则，即 $US$ 规则（全称量词消去律）。
$\frac{(\forall x)P(x)}{\therefore\ P(c)}$
（2）全称推广规则，即 $UG$ 规则（全称量词引入律）。
$\frac{P(c)\ for\ an \ arbitrary\ c}{\therefore\quad (\forall x)P(x)}$
（3）存在指定规则，即 $ES$ 规则（全称量词消去律）。
$\frac{(\exist x)P(x)}{\therefore\quad P(c)\ for\ some\ element\ c}$
（4）存在推广规则，即 $EG$ 规则（存在量词引入律）。
$\frac{P(c)\ for \ some \ \ element \ c }{\therefore\quad (\exist x)P(x)}$