1 命题逻辑基本概念
- 1.1 命题与联结词
- 1.2 命题公式及其赋值
2 命题逻辑等值演算
3 命题逻辑的推理理论
4 一阶逻辑基本概念
- 4.1 一阶逻辑命题符号化
  - 4.1.1 基本概念
  - 4.1.2 命题符号化
- 4.2 一阶逻辑公式及其解释
5 一阶逻辑等式演算与推理

1 命题逻辑基本概念

1.1 命题与联结词

1.1.1 命题

1.1.1.1 命题

非真既假的陈述句称作命题。

1.1.1.2 真值

作为命题的陈述句所表达的判断结果称作命题的真值

1.1.1.3 真命题与假命题

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题

1.1.1.4 简单命题（原子命题）与复合命题

不能被分解成更简单的命题称作简单命题或原子命题

由简单命题通过连接词连接而成的命题称作复合命题

1.1.1.5 悖论

既不能为真，也不能为假的陈述句称作悖论，悖论不是命题

1.1.1.6 命题与真值的符号化

用 $p, q, r$ 等表示命题，称为命题的符号化，用数字 $1$ 代表真，用数字 $0$ 代表假，称为真值的符号化

1.1.2 联结词

1.1.2.1 否定联结词

“非”（“否定”）符号化为“ $\urcorner$ ”，称 $\urcorner$ 为否定联结词

1.1.2.2 合取联结词

“并且”（“与”）符号化为“ $\wedge$ ”，称 $\wedge$ 为合取联结词

自然语言常见描述方式“虽然，但是”，“一边，一边”，“不仅，而且”，“既，又”

1.1.2.3 析取联结词

“或”（“相容或”）符号化为“ $\vee$ ”，称 $\vee$ 为析取联结词

注意相容或 $p \vee q$ 与排斥或 $(p \wedge \urcorner q) \vee (\urcorner p \wedge q)$ 的区别与联系

1.1.2.4 蕴涵联结词

“如果，则”符号化为“ $\to$ ”，称 $\to$ 为蕴涵联结词

自然语言常见描述方式“如果，则”，“只要，就”，“只有，才”，“除非，否则”，“仅当”

符号化时一定要分清前后件，（后件是前件的必要条件，前件是后件的充分条件）

在“如果 $p$ ，则 $q$ ” “只要 $p$ , 就 $q$ ” “ $p$ 仅当 $q$ ”中符号化为

p \to q

$p \to q$

在“只有 $p$ ，才 $q$ ”中符号化为

q \to p

$q \to p$

在“除非 $p$ ，否则 $q$ ”中符号化为

⌝ p \to q

$\urcorner p \to q$

1.1.2.5 等价联结词

“当且仅当”符号化为“ $\leftrightarrow$ ”，称 $\leftrightarrow$ 为等价联结词

1.1.2.6 常用联结词集

$S = \{ \urcorner , \wedge, \vee, \to, \leftrightarrow \}$

1.1.3 基本复合命题

设 $p, q$ 为命题

1.1.3.1 否定式

⌝ p

$\urcorner p$

1.1.3.2 合取式

p \land q

$p \wedge q$

1.1.3.3 析取式（相容或）

p \lor q

$p \vee q$

1.1.3.4 析取式（排斥或）

(p \land ⌝ q) \lor (⌝ p \land q)

$(p \wedge \urcorner q) \vee (\urcorner p \wedge q)$

1.1.3.5 蕴涵式

p \to q

$p \to q$

为假当且仅当 $p$ 为真， $q$ 为假， $p$ 为 $q$ 的充分条件， $q$ 为 $p$ 的必要条件

1.1.3.6 等价式

p \leftrightarrow q

$p \leftrightarrow q$

1.2 命题公式及其赋值

1.2.1 命题公式

1.2.1.1 命题常项与命题变项

真值确定的简单命题称为命题常项或命题常元，取值1（真）或0（假）的变元称作命题变项或命题变元

1.2.1.2 命题公式（合式公式）

将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系连接起来的符号串称作合式公式，也称作命题公式或命题形式，简称公式

1.2.1.2 公式层次

1.2.2 命题公式的赋值

1.2.2.1 定义

设 $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n$ 是出现在公式 $A$ 中的全部命题变项，给 $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n$ 各制定一个真值，称为对 $A$ 的一个赋值或解释

1.2.2.2 成真赋值与成假赋值

使 $A$ 为 $1$ 的一组值称为成真赋值，反之称为成假赋值

1.2.2.3 真值表

将命题公式 $A$ 在所有赋值下取值情况列成表，称作 $A$ 的真值表

1.2.3 命题公式的类型

1.2.3.1 重言式（永真式）

在它的各种赋值下取值均为真

1.2.3.2 矛盾式（永假式）

在它的各种赋值下取值均为假

1.2.3.3 可满足式

不是矛盾式

2 命题逻辑等值演算

2.1 等值式

2.1.1 定义

设 $A, B$ 是两个命题公式，若 $A, B$ 构成的等价式 $A \leftrightarrow B$ 为重言式，则称 $A$ 与 $B$ 是等值的，记作 $A \Leftrightarrow B$

符号 $\Leftrightarrow$ 不是联结符，它是用来说明 $A$ 与 $B$ 等值的一种记法，因而 $\Leftrightarrow$ 是元语言符号

2.1.2 基本的等值式

2.1.2.1 双重否定律

A \Leftrightarrow ⌝ ⌝ A

$A \Leftrightarrow \urcorner \urcorner A$

2.1.2.2 幂等律

A \Leftrightarrow A \land A, A \Leftrightarrow A \lor A

$A \Leftrightarrow A \wedge A, A \Leftrightarrow A \vee A$

2.1.2.3 交换律

A \land B \Leftrightarrow B \land A, A \lor B \Leftrightarrow B \lor A

$A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A, A \vee B \Leftrightarrow B \vee A$

2.1.2.4 结合律

2.1.2.5 分配率

（ $\wedge$ 对 $\vee$ 的分配率）

（ $\vee$ 对 $\wedge$ 的分配率）

2.1.2.6 德摩根律

⌝ (A \lor B) \Leftrightarrow ⌝ A \land ⌝ B

$\urcorner(A \vee B) \Leftrightarrow \urcorner A \wedge \urcorner B$

⌝ (A \land B) \Leftrightarrow ⌝ A \lor ⌝ B

$\urcorner(A \wedge B) \Leftrightarrow \urcorner A \vee \urcorner B$

2.1.2.7 吸收律

2.1.2.8 零律

2.1.2.9 同一律

2.1.2.10 排中律

2.1.2.11 矛盾律

2.1.2.12 蕴涵等值式

A \to B \Leftrightarrow ⌝ A \lor B

$A \to B \Leftrightarrow \urcorner A \vee B$

2.1.2.13 等价等值式

2.1.2.14 假言易位

A \to B \Leftrightarrow ⌝ B \to ⌝ A

$A \to B \Leftrightarrow \urcorner B \to \urcorner A$

2.1.2.15 等价否定等值式

2.1.2.16 归谬论

(A \to B) \land (A \to ⌝ B) \Leftrightarrow ⌝ A

$(A \to B) \wedge (A \to \urcorner B) \Leftrightarrow \urcorner A$

2.1.3 等值演算

由已知等值式推演出新的等值式的过程

2.1.4 置换规则

若 $A \Leftrightarrow B$ ，则 $\Phi(A) \Leftrightarrow \Phi(B)$

2.1.5 重言式与矛盾式的判别法

$A$ 为重言式当且仅当 $A \Leftrightarrow 1$ , $A$ 为矛盾式当且仅当 $A \Leftrightarrow 0$

2.2 析取范式与合取范式

2.2.1 基本概念

2.2.1.1 文字

命题变项及其否定统称为文字

2.2.1.2 简单析取式与简单合取式

仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式

2.2.1.3 极小项与极大项

在含有 $n$ 个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或者按照字典序排列，称这样的简单合取式为极小项

在含有 $n$ 个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或者按照字典序排列，称这样的简单析取式为极大项

2.2.1.4 析取范式与合取范式

由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式

由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称作合取范式

2.2.1.5 主析取范式与主合取范式

所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式

所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式

2.2.2 范式存在定理

任意命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的

2.2.3 求主析取范式与主合取范式的方法与步骤

2.2.3.1 等值演算法

2.2.3.2 真值表法

2.2.4 主析取范式的用途

求公式的成真赋值与成假赋值
判断公式的类型
判断两个公式是否等值
解实际问题

2.3 联结词的完备集

2.3.1 真值函数

称 $F:\{0, 1\} ^ n \to \{ 0, 1\}$ 为 $n$ 元真值函数

2.3.2 联结词完备集

2.3.2.1 定义

设 $S$ 是一个联结词集合，如果任何 $n(n \ge 1)$ 元真值函数都可以由仅含 $S$ 中的联结词构成的公式表示，则称 $S$ 是联结词完备集

2.3.2.2 常用完备集

S = {⌝, \lor}

$S = \{\urcorner, \vee\}$

S = {⌝, \land}

$S = \{\urcorner, \wedge\}$

S = {⌝, \to}

$S = \{\urcorner, \to\}$

S = {↑}

$S = \{\uparrow\}$

与非联结词 $\uparrow \Leftrightarrow \urcorner (p \wedge q)$

S = {↓}

$S = \{\downarrow\}$

或非联结词 $\downarrow \Leftrightarrow \urcorner (p \vee q)$

2.4 可满足性问题与消解法

3 命题逻辑的推理理论

3.1 推理的形式结构

3.1.1 基本概念

3.1.1.1 推理

所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程

3.1.1.2 前提

而前提是已知的命名公式集合

3.1.1.3 结论

结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式

3.1.1.4 有效的推理与有效的结论

设 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 和 $B$ 都是命题公式，若对于 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 和 $B$ 中出现的命题变项的任意一组赋值，或者 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 为假，或者当 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 为真时， $B$ 也为真，则称前提 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 推出 结论 $B$ 的推理是有效的或正确的，并称B为有效的结论

3.1.2 符号化形式

命题公式 $A_1, A_2, A_3 , \cdots , A_k$ 推出 $B$ 的推理正确当且仅当

A_{1} \land A_{2} \land \dots \land A_{k} \to B

$A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_k \to B$

为重言式

3.1.3 判断推理是否正确的方法

3.1.3.1 真值表法

3.1.3.2 等值演算法

3.1.3.3 主析取范式法

3.1.4 推理定律（重言蕴涵式）

3.1.4.1 附加律

3.1.4.2 化简律

3.1.4.3 假言推理

(A \to B) \land A \Rightarrow B

$(A \to B) \wedge A \Rightarrow B$

3.1.4.4 拒取式

(A \to B) \land ⌝ B \Rightarrow ⌝ A

$(A \to B) \wedge \urcorner B \Rightarrow \urcorner A$

3.1.4.5 析取三段论

(A \lor B) \land ⌝ B \Rightarrow A

$(A \vee B) \wedge \urcorner B \Rightarrow A$

3.1.4.6 假言三段论

(A \to B) \land (B \to C) \Rightarrow (A \to C)

$(A \to B) \wedge (B \to C) \Rightarrow (A \to C)$

3.1.4.7 等价三段论

3.1.4.8 构造性二难

(A \to B) \land (C \to D) \land (A \lor C) \Rightarrow (B \lor D)

$(A \to B) \wedge (C \to D) \wedge (A \vee C)\Rightarrow (B \vee D)$

(A \to B) \land (⌝ A \to B) \Rightarrow B

$(A \to B) \wedge (\urcorner A \to B) \Rightarrow B$

3.1.4.9 破坏性二难

(A \to B) \land (C \to D) \land (⌝ B \lor ⌝ D) \Rightarrow (⌝ A \lor ⌝ C)

$(A \to B) \wedge (C \to D) \wedge (\urcorner B \vee \urcorner D) \Rightarrow (\urcorner A \vee \urcorner C)$

3.2 自然推理系统 P

3.2.1 形式系统

3.2.1.1 定义

一个形式系统 $I$ 由下面的4个部分组成：

非空的字母表 $A(I)$
$A(I)$ 中符号构造的合式公式集 $E(I)$
$E(I)$ 中一些特殊的公式组成的公理集 $A_X(I)$
推理规律集 $R(I)$

将 $I$ 记为四元组 $<A(I), E(I), A_X(I), R(I)>$

3.2.1.2 形式语言系统与形式演算系统

$<A(I), E(I)>$ 是 $I$ 的形式语言系统

$<A_X(I), R(I)>$ 是 $I$ 的形式演算系统

3.2.1.3 一般分类

一般分为自然推理系统，和公理推理系统

3.2.2 自然推理系统的构成

3.2.2.1 字母表

命题变项符号： $p, q, r, \cdots, p_i, q_i, r_i$
联结词符号： $\urcorner, \vee, \wedge, \to, \leftrightarrow$
括号与逗号： $(,),,.$

3.2.2.2 合式公式

3.2.2.3 推理规则

3.2.2.3.1 前提引入规则

在证明的任何步骤都可以引入前提

3.2.2.3.2 结论引入规则

在证明的任何步骤所得到的结论都可以作为后继证明的前提

3.2.2.3.3 置换规则

在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都可以用等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式

3.2.2.3.4 假言推理规则（分离规则）

3.2.2.3.5 附加规则

3.2.2.3.6 化简规则

3.2.2.3.7 拒取式规则

3.2.2.3.8 假言三段论规则

3.2.2.3.9 析取三段论规则

3.2.2.3.10 构造性二难推理规则

3.2.2.3.11 破坏性二难推理规则

3.2.2.3.12 合取引入规则

3.2.3 证明方法

3.2.3.1 直接证明法

由前提出发，应用推理规则，推出结论

3.2.3.2 附加前提证明法

当结论为 $C \to B$ 形式时，可以将 $C$ 列入前提，然后用直接证明法推出 $B$ 。这里称 $C$ 为附加前提

3.2.3.3 归谬证明法

将结论 $B$ 的否定式 $\urcorner B$ 列入前提，然后用直接证明法推出矛盾式

3.3 消解证明法

将前提中的公式和结论的否定化成合取范式，以其所有的简单析取式作为前提，用前提引入规则和消解规则推出空式（即矛盾式）

4 一阶逻辑基本概念

4.1 一阶逻辑命题符号化

4.1.1 基本概念

4.1.1.1 个体词

个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体

将表示具体或特定的个体的个体词称作个体常项，一般用小写字母 $a, b, c$ 等表示，而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项，常用 $x, y, z$ 等表示。

称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）

又一个特殊的个体域，它是由宇宙间的一切事物组成的，称作全总个体域

4.1.1.2 谓词

谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间的相互关系的词，常用 $F, G, H$ 等表示。

表示具体性质或关系的谓词称作谓词常项，表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词称作谓词变项

一般地，含 $n(n \ge 1)$ 个个体变项 $x_1, x_2, \cdots , x_n$ 的谓词 $P$ 叫做 $n$ 元谓词，记作 $P(x_1, x_2, \cdots, x_n)$

有时将不带个体变项的谓词称作0元谓词

4.1.1.3 量词

4.1.1.3.1 全称量词

日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词统称作全称量词，用符号” $\forall$ ”，表示 $\forall x$ 表示个体域里的所有个体 $x$ ,其中个体域是事先约定的

4.1.1.3.2 存在量词

日常生活和数学中常用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称作存在量词，用符号” $\exists$ ”，表示 $\exists x$ 表示个体域里的所有个体 $x$ ,其中个体域是事先约定的

4.1.2 命题符号化

设 $D$ 为个体域

“ $D$ 中所有 $x$ 都有性质 $F$ ” 符号化为

\forall x F (x)

$\forall x F (x)$

“ $D$ 中存在 $x$ 都有性质 $F$ ” 符号化为

\exists x F (x)

$\exists x F (x)$

“对 $D$ 中所有 $x$ 而言，如果 $x$ 有性质 $F$ ，就有性质 $G$ ” 符号化为

\forall x (F (x) \to G (x))

$\forall x (F (x) \to G(x))$

“ $D$ 中存在 $x$ 即有性质 $F$ ，又有性质 $G$ ” 符号化为

\exists x (F (x) \land G (x))

$\exists x (F (x) \wedge G(x))$

“对 $D$ 中所有 $x, y$ 而言，如果 $x$ 有性质 $F$ ，y有性质 $G$ ，则 $x$ 与 $y$ 就有关系 $H$ ” 符号化为

\forall x \forall y (F (x) \land G (y) \to H (x, y))

$\forall x \forall y (F(x) \wedge G(y) \to H(x, y))$

“对 $D$ 中所有 $x,$ 而言，如果 $x$ 有性质 $F$ ，就存在y有性质 $G$ ，使得 $x,y$ 有关系 $H$ ” 符号化为

\forall x (F (x) \to \exists y (G (y) \land H (x, y)))

$\forall x (F(x) \to \exists y (G(y) \wedge H(x, y)))$

“ $D$ 中存在 $x$ 有性质 $F$ ，并且对 $D$ 中所有的 $y$ 而言，如果 $y$ 有性质 $G$ ，则 $x, y$ 就有关系 $H$ ”

\exists x (F (x) \land \forall y (G (y) \to H (x, y)))

$\exists x (F(x) \wedge \forall y (G(y) \to H(x, y)))$

4.2 一阶逻辑公式及其解释

4.2.1 一阶语言

4.2.1.1 定义

用于一阶逻辑的形式语言

4.2.1.2 非逻辑符号与逻辑符号

个体常项符号、函数符号和谓词符号称作非逻辑符号，个体变项符号、量词符号、联结词符号和括号与逗号称作逻辑符号

4.2.1.3 项

4.2.1.4 原子公式

4.2.1.5 合式公式（谓词公式）

4.2.1.2 量词的辖域

在公式 $\forall A x$ 和 $\exists A x$ 中，称 $x$ 为指导变元， $A$ 为量词的辖域。在 $\forall A x$ 和 $\exists A x$ 的辖域中， $x$ 的所有出现都称作约束出现， $A$ 中不是约束出现的其他变项均称作自由出现

4.2.1.3 闭式

设 $A$ 是任意的公式，若 $A$ 中不含自由出现的个体变项，则称 $A$ 为封闭的公式，简称闭式

4.2.2 一阶语言的解释

4.2.2.1 解释与赋值

对公式中个体域及个体常项符号、函数符号、谓词符号的指定称作解释，指定自由出现的个体变项的值称作赋值

4.2.3 公式的类型

4.2.3.1 永真式（逻辑有效式）

4.2.3.2 矛盾式（永假式）

4.2.3.3 可满足式

4.2.4 代换实例

设 $A_0$ 是含命题变项 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 的命题公式， $A_1, A_2, \cdots ,A_n$ 是 $n$ 的谓词公式，用 $A_i(1 \le i \le n)$ 处处代替 $A_0$ 中的 $p_i$ ，所得公式 $A$ 称为 $A_0$ 的代换实例

5 一阶逻辑等式演算与推理

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则

5.1.1 等值式

5.1.1.1 定义

设 $A, B$ 是一阶逻辑中任意两个公式，若 $A \leftrightarrow B$ 是永真式，则称 $A$ 与 $B$ 等值，记做 $A \Leftrightarrow B$ ，称 $A \Leftrightarrow B$ 是等值式

5.1.1.2 基本等值式

5.1.1.2.1 命题逻辑中基本等值式的代换实例

5.1.1.2.2 一阶逻辑中的重要等值式

5.1.1.2.2.1 量词否定等值式

⌝ \forall x A (x) \Leftrightarrow \exists x ⌝ A (x)

$\urcorner \forall x A(x) \Leftrightarrow \exists x \urcorner A(x)$

⌝ \exists x A (x) \Leftrightarrow \forall x ⌝ A (x)

$\urcorner \exists x A(x) \Leftrightarrow \forall x \urcorner A(x)$

5.1.1.2.2.2 量词辖域收缩与扩张等值式

下列公式中 $A(x)$ 是含 $x$ 自由出现的公式， $B$ 中不含 $x$ 的自由出现，则

\forall x (A (x) \lor B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \lor B

$\forall x (A(x) \vee B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \vee B$

\forall x (A (x) \land B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \land B

$\forall x (A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \wedge B$

\forall x (A (x) \to B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \to B

$\forall x (A(x) \to B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \to B$

\forall x (B \to A (x)) \Leftrightarrow B \to \forall x A (x)

$\forall x (B \to A(x)) \Leftrightarrow B \to \forall x A(x)$

\exists x (A (x) \lor B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \lor B

$\exists x (A(x) \vee B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \vee B$

\exists x (A (x) \land B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \land B

$\exists x (A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \wedge B$

\exists x (A (x) \to B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \to B

$\exists x (A(x) \to B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \to B$

\exists x (B \to A (x)) \Leftrightarrow B \to \exists x A (x)

$\exists x (B \to A(x)) \Leftrightarrow B \to \exists x A(x)$

5.1.1.2.2.3 量词分配等值式

全称量词对合取联结词存在分配律

\forall x (A (x) \land B (x)) \Leftrightarrow \forall x A (x) \land \forall x B (x)

$\forall x (A(x) \wedge B(x)) \Leftrightarrow \forall x A(x) \wedge \forall x B(x)$

存在量词对析取联结词存在分配律

\exists x (A (x) \lor B (x)) \Leftrightarrow \exists x A (x) \lor \exists x B (x)

$\exists x (A(x) \vee B(x)) \Leftrightarrow \exists x A(x) \vee \exists x B(x)$

5.1.1.3 演算规则

5.1.1.3.1 置换规则

5.1.1.3.2 换名规则

5.2 一阶逻辑前束范式

5.2.1 前束范式

5.2.1.1 定义

具有如下形式

Q_{1} x_{1} Q_{2} x_{2} \dots Q_{k} x_{k} B

$Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_k x_k B$

的一阶逻辑公式称作前束范式，其中 $Q_i$ 为 $\forall$ 或 $\exists$ ， $B$ 为不含量词的公式

5.2.1.2 前束范式存在定理

一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式

5.3 一阶逻辑推理理论

5.3.1 推理定律

5.3.1.1 定义

在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律

5.3.1.2 性质

若一个推理的形式结构是推理定律，则这个推理是正确的

5.3.2 一阶逻辑中重要的推理定律

5.3.2.1 命题逻辑推理定律的代换实例

5.3.2.2 基本等值式生成的推理定律

5.3.2.3 常用的重要推理定律

\forall x A (x) \lor \forall x B (x) \Rightarrow \forall (A (x) \lor B (x))

$\forall x A (x) \vee \forall x B (x) \Rightarrow \forall (A(x) \vee B(x))$

\exists x (A (x) \land B (x)) \Rightarrow \exists x A (x) \land \exists x B (x)

$\exists x (A (x) \wedge B (x)) \Rightarrow \exists x A (x) \wedge \exists x B (x)$

\forall x (A (x) \to B (x)) \Rightarrow \forall x A (x) \to \forall x B (x)

$\forall x (A (x) \to B (x)) \Rightarrow \forall x A (x) \to \forall x B (x)$

\exists x (A (x) \to B (x)) \Rightarrow \exists x A (x) \to \exists x B (x)

$\exists x (A (x) \to B (x)) \Rightarrow \exists x A (x) \to \exists x B (x)$

5.3.3 量词的引入与消去规则

5.3.3.1 全称量词消去规则

若 $\forall x A(x)$ ，则 $A(y)$

或

若 $\forall x A(x)$ ，则 $A(c)$

其中 $x, y$ 是个体变项符号， $c$ 是个体常项符号，且在 $A$ 中 $x$ 不在 $\forall y$ 和 $\exists y$ 的辖域内自由出现

5.3.3.2 全称量词引入规则

若 $A(y)$ ，则 $\forall x A(x)$

其中 $y$ 是个体变项符号,且不在 $\Gamma$ 的任何公式中自由出现

5.3.3.3 存在量词消去规则

若 $\exists x A(x)$ ，且 $A(y) \to B$ ，则 $B$

若 $\exists x A(x)$ ，且 $A(c) \to B$ ，则 $B$

或

若 $A(y) \to B$ ，则 $\exists x A(x) \to B$

若 $A(c) \to B$ ，则 $\exists x A(x) \to B$

其中 $y$ 是个体变项符号,且不在 $\Gamma$ 的任何公式和 $B$ 中自由出现， $c$ 是个体常项符号，且不在 $\Gamma$ 的任何公式和 $A,B$ 中出现

5.3.3.4 存在量词引入规则

若 $A(y)$ ，则 $\exists x A(x)$

若 $A(c)$ ，则 $\exists x A(x)$

或

若 $B \to A(y)$ ，则 $B \to \exists x A(x)$

若 $B \to A(c)$ ，则 $B \to \exists x A(x)$

其中 $x, y$ 是个体变项符号， $c$ 是个体常项符号，且在 $A$ 中 $y,c$ 分别不在 $\forall x$ 和 $\exists x$ 的辖域内自由出现和出现

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