SPFA最短路算法

前言

咳，又是一个新的博客。。。最近几天高产似母猪哈

今天要讲的是SPFA算法。

欢迎大家来看。。。

算法用途

这个算法，如其名：Shortest Path Fastest Algorithm，就是求最短路的算法。和Dijkstra一样，这是一个单源最短路算法。

算法原理

这个算法因为与贝尔曼福德（Bellman-Ford）算法比较相似，只是在它的算法的基础上进行了队列优化，因此也被嘲讽为“队列优化的贝尔曼福德”。

就是每次可以更新到一个节点的最短距离的时候，我们就更新它，并更新所有它能到达的子节点，直到没有节点需要被更新。

算法结果

算法运行结束后，将会得到一个处理好的数组$d$，其中$d[i]$代表从起点出发到节点$i$的最短路长度。

算法实现

我们首先定义一个数组$d$，代表我们选定的起点到其他各个点的距离最小值，将$d$数组中除了起点以外的所有的元素都赋成INF（无限大）。

然后我们定义一个队列（先进先出），并将起点压入队列中，记录起点已经在队列中。

这之后，每次取出一个节点（设为$u$），枚举与之相连的节点（设为$v$，并设$线段uv的长度为w$），如果发现$d[u]+w<d[v]$，那么就更新$d[v]=d[u]+w$，并且如果$v$不在队列中，就将其加入队列，并记录$v$点已经在队列中。如果不满足$d[u]+w<d[v]$，那么就什么也不做，继续取下一个$v$。

请看图（啊啊啊啊啊这个破图我做了两天！！！要转载请注明出处！！！）。

正确性证明

目前没有明确的论文来证明SPFA的正确性，这也是为什么这个算法一直没有被国际上承认。

例题

洛谷P3371 【模板】单源最短路径

P3371 【模板】单源最短路径

题目描述

如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。

接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。

输出格式：

一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）

输入输出样例

输入样例#1：

4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4

输出样例#1：

0 2 4 3

说明

时空限制：

1000ms,128M

数据规模：

对于20%的数据：N<=5，M<=15

对于40%的数据：N<=100，M<=10000

对于70%的数据：N<=1000，M<=100000

对于100%的数据：N<=10000，M<=500000

样例说明：

这个题就是模板题，直接打好Dijkstra就行了。

CPP源代码

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,s;
#define MM 500005
#define MN 10005
#define INF 99999999
#define IINF 2147483647
struct node{int u,v,w,next;};
node edge[MM];
int head[MN];
int spfa[MN];
queue<int>q;
bool inq[MN];
void SPFA()
{
    q.push(s);
    inq[s]=true;
    for(int i=1;i<=n;i++) spfa[i]=INF;
    spfa[s]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=head[u];i>0;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].v;
            int w=edge[i].w;
            if(spfa[v]>spfa[u]+w)
            {
                spfa[v]=spfa[u]+w;
                if(!inq[v])
                {
                    inq[v]=true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        edge[i]=(node){u,v,w,head[u]};
        head[u]=i;
    }
    SPFA();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(spfa[i]==INF) spfa[i]=IINF;
        cout<<spfa[i]<<" "; 
    }
    return 0;
}