Max Sum
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 287192 Accepted Submission(s): 68202
Problem Description
Given a sequence a[1],a[2],a[3]......a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
Input
The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).
Output
For each test case, you should output two lines. The first line is "Case #:", # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.
Sample Input
2
5 6 -1 5 4 -7
7 0 6 -1 1 -6 7 -5
Sample Output
Case 1:
14 1 4
Case 2:
7 1 6
概译：求一个数列最大连续和，即找到 1 ≤ i ≤ j ≤ n，使得a[ i ]+a[ i+1 ]+……+a[ j ]尽可能大，如有多组相同结果取最靠前的。
输入：测试组数；每行第一个数为n，然后输入a[ 1 ]~a[ n ]。
输出：Case %d:\n最大连续和 连续和的起始下标i 连续和的末尾下标j
思路：题是水题，这里我们探究一下时间和空间复杂度的优化。
1.枚举
ans=a[1]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) { //i和j是起点和终点 int sum=0; for(int k=i;k<=j;k++) sum+=a[i]; if(ans<sum) ans=sum; }
这大概是我们初学编程时的做法。
2.递推前缀和
sum[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) { ans=max(ans,sum[j]-sum[i-1]); }
这样子就把一个区间的操作转化为了两个区间端点的操作，使得复杂度降到了O（n²）。然而面对1e5的数据量我们是没有勇气就这么提交的……
3.分治算法（O（nlogn））
以下借鉴刘汝佳《算法竞赛入门经典》中的思路。
①划分问题：把问题的实例划分成子问题；②递归求解：递归解决子问题；③合并问题：合并子问题的解得到原问题的解。
对于区间 [ l , r ]，区间中点m，所求ans = max { l~m的ans，m+1~r的ans，由m连接的、占用了部分l~m和部分m+1~r的连续和 }。
我是用的map来记录的始末端点，详细请参见代码。哪里需要改正或可以精简之处万望指出。
1 //140ms 2 #include<cstdio> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<map> 6 #define maxn 100005 7 #define inf 0x7fffffff 8 using namespace std; 9 10 typedef pair<int,int> P; 11 int n,a[maxn]; 12 map<P,P>mp;//记录区间[l,r]上的最大连续和的始末点pair(s,e) 13 14 int Maxsum(int l,int r) 15 { 16 if(l==r)//返回条件 17 { 18 mp[P(l,r)]=P(1,r); 19 return a[l]; 20 } 21 22 int m=(l+r)/2; 23 int t=Maxsum(l,m),p=Maxsum(m+1,r);//左边和右边的最大连续和 24 int cmp,flag=0; 25 if(t<p) 26 { 27 cmp=p; 28 mp[P(l,r)]=mp[P(m+1,r)]; 29 flag=1; 30 } 31 else 32 { 33 cmp=t; 34 mp[P(l,r)]=mp[P(l,m)]; 35 } 36 //相连接的最大连续和 37 int L,R; 38 for(int i=m,j=inf;i>=l;i--) 39 if(j>=a[i]) 40 j=a[i],L=i; 41 for(int i=m+1,j=-inf;i<=r;i++) 42 if(j<a[i]) 43 j=a[i],R=i; 44 45 if(a[R]-a[L]>cmp||(a[R]-a[L]==cmp&&flag))//题中要求有多组相同结果时取最前面的结果，故而使用flag 46 { 47 cmp=a[R]-a[L]; 48 mp[P(l,r)]=P(L+1,R); 49 } 50 51 return cmp; 52 } 53 int main() 54 { 55 int test,kase=0; 56 scanf("%d",&test); 57 58 while(test--) 59 { 60 scanf("%d",&n); 61 62 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]+=a[i-1]; 63 64 printf("Case %d:\n%d",++kase,Maxsum(1,n)); 65 //注意Maxsum过程中求得的mp，所以不能把这两行放在一起输出 66 printf(" %d %d\n",mp[P(1,n)].first,mp[P(1,n)].second); 67 if(test) printf("\n"); 68 69 mp.clear(); 70 } 71 72 return 0; 73 }
4.O（n）算法
还是以i为起点j为终点，则sum[ j ] - sum[ i-1 ]最大（参见第2种讨论）只要路过时顺便把在j之前最小的sum[ i-1 ]记录一下，就不需要遍历一遍了，直接减即可。代码中变量有点凌乱，见谅：
1 //31ms 2 #include<cstdio> 3 4 int a[100005]; 5 int n,test,kase; 6 7 int main() 8 { 9 scanf("%d",&test); 10 while(test--) 11 { 12 printf("Case %d:\n",++kase); 13 14 scanf("%d",&n); 15 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]+=a[i-1]; 16 17 int s=0,e=0,minn=0,ans=-0x7fffffff; 18 //s即start，e即end，代表始末下标； 19 //minn是从j∈[1,i)中最小的a[j]，ans为最大连续和初始值设为最小以更新 20 for(int i=1,j=0;i<=n;i++)//j作为临时记录用 21 { 22 if(a[i]-minn>ans) ans=a[i]-minn,s=j,e=i;//更新结果 23 if(minn>a[i]) minn=a[i],j=i;//更新minn 24 } 25 26 printf("%d %d %d\n",ans,++s,e); 27 if(test) printf("\n"); 28 } 29 return 0; 30 }
5.减少空间使用
不需要开数组，只要贪心地每读入一个数，sum就加上这个数，若是比ans大，则ans更新为sum；若是sum<0了，则sum置0，因为前面一堆负数只会是后面的正数的累赘，不可能比后面的正数更优。至于后面的正数能不能把ans更新，就要看它能力了。
这依旧是O（n）的算法，所以运行时间没变，但是减少了空间的使用！
另，此代码中使用了读入挂来减少输入的所需时间，使得评测结果更优。虽然网上有很多快速读入的模板，不过AlphaWA感觉有点长有点乱，就东拼西凑瞎搞了一个。如果此种写法有bug，希望同学们指出！
1 //31ms,scanf替换为普通getchar快速读为46ms，替换为fread快速读为0ms 2 #include<cstdio> 3 4 //以下变量均为读入挂所需 5 const int maxl=1e2; 6 //这里maxl是每次fread分块读入输入文件的长度，赋值为多少都可以 7 //由于有pos==len时pos归零的操作，可以使一个长文件分为若干个长度为maxl的文件读入 8 int pos,len; 9 char buf[maxl]; 10 11 int xchar() 12 { 13 if(pos==len) pos=0,len=fread(buf,1,maxl,stdin); 14 return buf[pos++]; 15 } 16 int read() 17 { 18 int x=0,s=1,c=xchar(); 19 while(c<=32) c=xchar(); 20 if(c=='-') s=-1,c=xchar(); 21 for(;c>='0'&&c<='9';c=xchar()) x=x*10+c-'0'; 22 return x*s; 23 } 24 int main() 25 { 26 int test,kase=0; 27 test=read(); 28 29 while(test--) 30 { 31 int n,sum=0,ans=-1001,s,e,temp=1; 32 n=read(); 33 34 for(int i=1;i<=n;i++) 35 { 36 int a; 37 a=read(); 38 sum+=a; 39 if(sum>ans) 40 { 41 ans=sum; 42 s=temp; 43 e=i; 44 } 45 if(sum<0) 46 { 47 sum=0; 48 temp=i+1; 49 } 50 } 51 52 printf("Case %d:\n%d %d %d\n",++kase,ans,s,e); 53 if(test) printf("\n"); 54 } 55 56 return 0; 57 }
END~