HDU.1003 Max Sum

原题

HDU.1003 Max Sum

分类

动态规划

题意

计算从一个序列中最大连续子序列和、对应的起始元素和终止元素的位置。

输入/输出	要求与格式
样例数的确定	最开始一行开始输入样例数
每个样例的输入	每行n + 1个数，第一个数n为数组元素个数，后n个数为序列的实际元素
输出结果	最大连续子序列和、对应的起始元素和终止元素的位置
输出格式	每个案例结果第一行为"Case X:"，第二行为3个输出结果(空格隔开)，两个案例结果间一个空行
特殊要求	有多个解的案例使用最前面的解

以下是数据范围：

数据	数据范围
样例数	$1 \leq T \leq 20$
序列元素个数	$1 \leq n \leq 10^5$
序列元素	$-10^3 \leq a_i \leq 10^3$

题解

这道题规定了数组元素个数最大可能有 $10^5$个。

如果出于最暴力的方法来考虑，尝试每一种子序列的和，用前缀和的方法来优化求和，时间复杂度为 $O \left( n^2 \right)$，这样的计算方法肯定会TLE啊，必须换个思路。

其实在学动态规划的时候，我们老师讲的第一道例题就是这道，以下是动态规划的思路表格：

\	具体内容
$dp \left[ x \right]$	序列前 $x$个数中，必须包含 $a \left[ x \right]$的最大连续序列和
初始状态	$dp \left[ 1 \right] = a \left[ 1 \right]$
状态转移方程	$dp \left[ x \right] = \begin{cases} dp \left[ x-1 \right] + a\left[ x \right] & {dp\left[ x-1 \right] \geq 0}\\ a \left[ x \right] & {dp\left[ x-1 \right] < 0} \end{cases}$
计算结果	$\max \limits_{1 \leq i \leq n} dp \left[ i \right]$

再来分析一下这个动态规划的合理性。

1、 $dp \left[ x \right]$的设计
最大连续子序列和必然是序列的前 $i$个数中、以某个 $a \left[ i \right]$结尾的一个序列。

2、状态转移方程
我们很容易看出，在这种 $dp \left[ x \right]$的设计下，为了使 $dp \left[ x \right]$能够达到最大值， $dp \left[ x \right]$的计算只有两种选择：

• ①并入前面 $dp \left[ x-1 \right]$对应的序列，继续拼接形成新的连续子序列。
• ②舍弃前面 $dp \left[ x-1 \right]$对应的序列，自己本身单独形成一个新的连续子序列。

这两种方式我们要找到一个值最大的，也就是 $dp \left[ x \right] = \max \left\{ dp \left[ x-1 \right]+a \left[ x \right] , a \left[ x \right] \right\}$，其实和上面表格中列出的公式是一个意思，可能显得简化一些。

3、初始状态
最初始的状态很显然就是前1个数中必须包含 $a \left[ 1 \right]$的最大连续子序列和， $dp \left[ 1 \right] = a \left[ 1 \right]$.

4、计算结果
最终的结果就是所有 $dp \left[ x-1 \right]$中，值最大而且还靠前的那组解。

对于位置信息，我们也可以另外写上一个start数组，用 $\text{start} \left[ x \right]$来标记 $dp \left[ x \right]$对应序列的起始位置。每个案例的输出结果依次为 $dp \left[ x \right]$、 $\text{start} \left[ x \right]$、 $x$.

对于格式要求，两个案例间一个空行，可以理解为最后一个案例后不加空行。因此，只要在打印时，根据案例计数器作一个判断就可以了。

题解代码

HDU（C++/G++）AC代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int a[100005];
int dp[100005];
int start[100005];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

	//数据准备
	int T;
	int cnt = 1;
	int n;
	//样例数
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		//接收输入
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			cin >> a[i];
		//初始化状态
		dp[1] = a[1];
		start[1] = 1;
		//状态转移，开始dp
		//状态转移方程：
		//    dp[x] = dp[x - 1] + a[x]（dp[x - 1] >= 0）
		//    dp[x] = a[x]（dp[x - 1] < 0）
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
		{
			if (dp[i - 1] >= 0)
			{
				dp[i] = dp[i - 1] + a[i];
				start[i] = start[i - 1];
			}
			else
			{
				dp[i] = a[i];
				start[i] = i;
			}
		}
		//搜素结果
		int maxt = 1;
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
			if (dp[i] > dp[maxt])
				maxt = i;
		//输出结果
		cout << "Case " << cnt++ << ':' << endl;
		cout << dp[maxt] << ' ' << start[maxt] << ' ' << maxt << endl;
		if (T)
			cout << endl;
	}

	return 0;
}

评价

这道题算是一道动态规划(dp)的入门题，要想熟练使用dp，还是得多刷题长长见识啊。