数据结构23————有序表查找

一. 目录

数据结构23————有序表查找

二. 有序表查找

有序表查找即在一个有序表中查找需要的值，因为是有序的所以可以不用如线性表那样遍历所有数据，可以利用有序这一特点进行查找。

三. 二分(折半)查找

1. 思路

在有序表(从小到大)中，取中间记录作为比较对象,若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功，如给定值小于中间记录的关键字，则在中间记录的左半区继续查找,若给定值大于中间记录的关键字，则在中间记录的右半区继续查找。

2.代码

#include <stdio.h>
//二分查找, a为查找的数组(数组从1开始存储)，n为数组长度,key为要查找的关键字
int Binary_Search(int *a,int n,int key){
    int low,high,mid;
    low = 1;
    high = n;
    while(low <= high){
        mid=(low + high)/2;
        if(key < a[mid]){
            high = mid-1;
        }else if(key == a[mid]){
            return mid;
        }else if(key > a[mid]){
            low = mid+1;
        }
    }
    return 0;
}

3.时间复杂度

对于一个有n个数据有序数组，最好的情况下查找次数:1次，最坏的情况下查找次数 $[log_{2} n]+1$ ，所以二分查找的时间复杂度为 $O[logn]$

四. 插值查找

1.产生原因

在有些时候，二分查找时每次和最中间的相比，并不是最优的情况，比如说在均匀分布1-100的有序数组中查找5，我们自然会考虑从下标比较小的开始查找。所以在这种情况下，二分查找依然有改进的空间

2.思路

插值查找是根据要查找的关键字key和查找表中的最大最小记录的关键字比较后的查找方法，其核心公式是 $\frac{key-a[low]}{a[high]-a[low]}$ ,即每次将给定值与下标为 $\frac{key-a[low]}{a[high]-a[low]}$ 的值进行比较

3.代码

总体和二分查找差不多，不过将mid = （low+high）/2改为:mid = low +(high - low)*（key-a[low]）/(a[high]-a[low])

五. 斐波那契查找

对于二分查找的改进除了插值查找外，还有一种，即斐波那契查找。

1.思路

斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，即n=Fk-1(不足补齐) ， F(K)为斐波那契数列。即{0,1,1,2,3,5,8,13……}
核心思路：
开始将k值与第F(k-1）位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种:
1. 相等，mid位置的元素即为所求
2. 大于 ,low=mid+1,k-=2; 即：查找的元素在[mid+1,hign]范围内，元素个数为F(k-2)-1个
3. 小于,high=mid-1,k-=1; 即：查找的元素在[[low,mid-1]]范围内，元素个数为F(k-2)-1个

2.代码

int Fibonacci_SEarch(int *a,int n,int key){
    int low,high,mid,i,k;
    low = 1;  // 定义最低下标的记录首位 
    high = n;  //定义最高下标为记录末尾 
    k=0;  
    while( n>F[k]-1){ //计算n位于斐波那契数列的位置 
        k++;    
    }
    for(i=n;i<F[k]-1;i++){ //将不满的数值补全 
        a[i] = a[n];
    }

    while(low <= high){

        mid = low + F[k-1] -1;//计算当前分割的下标 

        if( key <a [mid]){ //若查找记录小于当前分割记录 
            high = mid -1; //最高下标调整到分割下标mid-1处 
            k=k-1; //斐波那契数列下标减一位 
        }else if(key > a[mid]){//若查找记录大于当前分割记录 
            low = mid +1;//最高位下标调整   到分隔符下标mid+1处 
            k=k-2;//斐波那契数列减两位 
        }else{
            if(mid<=n){
                return mid; //若相等则说明mid即为查找到的位置 
            }else{
                return n; // 若mid>n说明是补全数组，返回n 
            }
        } 
    }
    return 0;
}

3.性能优越

关于斐波那契查找，如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去，对处于当众的大部分数据，其工作效率要高一些。所以尽管斐波那契查找的时间复杂度也为O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。可惜如果是最坏的情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧在查找，则查找效率低于折半查找。

还有关键一点，折半查找是进行加法与除法运算的（mid=(low+high)/2），插值查找则进行更复杂的四则运算（mid = low + (high - low) * ((key - a[low]) / (a[high] - a[low]))），而斐波那契查找只进行最简单的加减法运算（mid = low + F[k-1] - 1），在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的效率。

六. 参考资料

《大话数据》
《数据结构与算法》