使用BellmanFord算法求带负权图的单源最短路径

使用BellmanFord算法求带负权图的单源最短路径

BellmanFord算法可以处理带不带负权环的图，及时权为负也可以接受，但是时间复杂度较高

贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。 然而，迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共 |V|-1次，其中 |V|}是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行 $O(|V|*|E|)$（大O符号）次， |V|,|E|别是节点和边的数量）。

实现代码

package ShortestPath;

import java.util.Stack;
import java.util.Vector;

/**
 * @ Description: 使用BellmanFord算法求最短路径
 * @ Date: Created in 14:20 2018/8/2
 * @ Author: Anthony_Duan
 */
public class BellmanFord<Weight extends Number & Comparable>{

    //图的引用
    private WeightedGraph G;

    //起始点
    private int s;

    //distTo[i]存储从起始点s到i的最短路径长度
    private Number[] distTo;
    // from[i]记录最短路径中到达[i]点的边是哪一条 可以用来恢复整个最短路径
    Edge<Weight>[] from;
    //标记图中是否有负权环
    boolean hasNegativeCycle;

    //构造函数 使用BellmanFord算法求最短路径
    public BellmanFord(WeightedGraph graph, int s) {

        G = graph;
        this.s = s;
        distTo = new Number[G.V()];
        from = new Edge[G.V()];
        //初始化所有的节点s都不可达，由from数组表示

        for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
            from[i] = null;
        }
        // 设置distTo[s] = 0, 并且让from[s]不为NULL, 表示初始s节点可达且距离为0
        distTo[s] = 0.0;
        from[s] = new Edge<Weight>(s, s, (Weight) (Number) (0.0));


        // Bellman-Ford的过程
        // 进行V-1次循环, 每一次循环求出从起点到其余所有点, 最多使用pass步可到达的最短距离
        for (int pass = 0; pass < G.V(); pass++) {
            // 每次循环中对所有的边进行一遍松弛操作
            // 遍历所有边的方式是先遍历所有的顶点, 然后遍历和所有顶点相邻的所有边
            for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
                for (Object item : G.adj(i)) {
                    Edge<Weight> e = (Edge<Weight>) item;

                    // 对于每一个边首先判断e->v()可达
                    // 之后看如果e->w()以前没有到达过， 显然我们可以更新distTo[e->w()]
                    // 或者e->w()以前虽然到达过, 但是通过这个e我们可以获得一个更短的距离, 即可以进行一次松弛操作, 我们也可以更新distTo[e->w()]
                    if (from[e.v()] != null && (from[e.w()] == null
                            || distTo[e.v()].doubleValue() + e.wt().doubleValue() < distTo[e.w()].doubleValue())) {
                        distTo[e.w()] = distTo[e.v()].doubleValue() + e.wt().doubleValue();
                        from[e.w()] = e;
                    }
                }
            }
        }

        hasNegativeCycle = detectNegativeCycle();

    }
    // 判断图中是否有负权环
    boolean detectNegativeCycle() {
        for (int i = 0; i < G.V(); i++) {
            for (Object item :
                    G.adj(i)) {
                Edge<Weight> e = (Edge<Weight>) item;
                if (from[e.v()] != null && distTo[e.v()].doubleValue() + e.wt().doubleValue() < distTo[e.w()].doubleValue()) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    //返回图中是否有负权环
    boolean negativeCycle() {
        return hasNegativeCycle;
    }


    // 返回从s点到w点的最短路径长度
    Number shortestPathTo(int w) {
        assert w >= 0 && w < G.V();
        assert !hasNegativeCycle;
        assert hasPathTo(w);
        return distTo[w];
    }

    // 判断从s点到w点是否联通
    boolean hasPathTo(int w) {
        assert (w >= 0 && w < G.V());
        return from[w] != null;
    }
    // 寻找从s到w的最短路径, 将整个路径经过的边存放在vec中
    Vector<Edge<Weight>> shortestPath(int w){

        assert w >= 0 && w < G.V() ;
        assert !hasNegativeCycle ;
        assert hasPathTo(w) ;

        // 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中

        Stack<Edge<Weight>> s = new Stack<Edge<Weight>>();
        Edge<Weight> e = from[w];
        while( e.v() != this.s ){
            s.push(e);
            e = from[e.v()];
        }
        s.push(e);

        // 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径
        Vector<Edge<Weight>> res = new Vector<Edge<Weight>>();
        while( !s.empty() ){
            e = s.pop();
            res.add(e);
        }

        return res;
    }

    // 打印出从s点到w点的路径
    void showPath(int w){

        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( !hasNegativeCycle );
        assert( hasPathTo(w) );

        Vector<Edge<Weight>> res = shortestPath(w);
        for( int i = 0 ; i < res.size() ; i ++ ){
            System.out.print(res.elementAt(i).v() + " -> ");
            if( i == res.size()-1 ) {
                System.out.println(res.elementAt(i).w());
            }
        }
    }

    // 测试我们的Bellman-Ford最短路径算法
    public static void main(String[] args) {

        String filename = "/Users/duanjiaxing/IdeaProjects/Algorithm/src/ShortestPath/testG2.txt";
        //String filename = "testG_negative_circle.txt";
        int V = 5;

        SparseWeightedGraph<Integer> g = new SparseWeightedGraph<Integer>(V, true);
        ReadWeightedGraph readGraph = new ReadWeightedGraph(g, filename);

        System.out.println("Test Bellman-Ford:\n");

        int s = 0;
        BellmanFord<Integer> bellmanFord = new BellmanFord<Integer>(g, s);
        if( bellmanFord.negativeCycle() ) {
            System.out.println("The graph contain negative cycle!");
        } else {
            for( int i = 0 ; i < V ; i ++ ){
                if(i == s) {
                    continue;
                }

                if(bellmanFord.hasPathTo(i)) {
                    System.out.println("Shortest Path to " + i + " : " + bellmanFord.shortestPathTo(i));
                    bellmanFord.showPath(i);
                }
                else {
                    System.out.println("No Path to " + i );
                }

                System.out.println("----------");
            }
        }

    }
}