hdu 3507 斜率DP入门题

题意：输出序列a[n]，每连续输出的费用是连续输出的数字和的平方加上常数M，让我们求这个费用的最小值(n=5e5)

5 5

5 9 5 7 5

230

样例解释：5^2+5 9^2+5 5^2+5 7^2+5 5^2+5 sum=230

设dp[i]表示输出到i的时候最少的花费，S[i]表示从a[1]到a[i−1]的数字和。注意这里为了方便起见前缀和与一般的有区别。则有：

dp[i]=min{dp[j]+(S[i+1]−S[j])^2+M}(j<i)

下面给出斜率DP的优化解释：

$dp[j]+(S[i+1]-S[j])^2+M<dp[k]+(S[i+1]-S[k])^2+M$

$dp[j]+S[i+1]^2-2S[i+1]S[j]+S[j]^2+M<dp[k]+S[i+1]^2-2S[i+1]S[k]+S[k]^2+M$

$dp[j]-dp[k]+S[j]^2-S[k]^2<2S[i+1](S[j]-S[k])$

$\frac{dp[j]-dp[k]+S[j]^2-S[k]^2}{S[j]-S[k]}<2S[i+1]$

设 $f(x)=dp[j]-S[x]^2$

$\frac{f(j)-f(k)}{S[j]-S[k]}<2S[i+1]$

当且仅当 $j>k$ ，且上式成立时， $j$ 对更新 $dp[i]$ 比 $k$ 更新 $dp[i]$ 优

当一个数的 $dp$ 值求完了，它的 $f$ 值也跟着确定，我们就可以在空间中绘制出点 $(S[i],f[i])$ 。

这个点代表已经求出 $dp$ 值的一个点。

设 $g[j,k]=\frac{f(j)-f(k)}{S[j]-S[k]}$

现在从左到右，设 $g[i,j]<g[j,k]（k<j<i）$ ， $k<j<i$ ，那么 $j$ 点便永远不可能成为最优解。为什么呢？

我们假设 $g[i,j]<2S[i+1]$ ，也就是 $i$ 点比 $j$ 点优，排除j点。

如果 $g[i,j]>=2*S[i+1]$ ，那么此时 $j$ 点比 $i$ 点更优，但是同时 $g[j,k]>g[i,j]>2*S[i+1]$ ，

说明还有k点比j点优。

设 $k<j<i$

由于我们排除了 $g[i,j]<g[j,k]$ 的情况，所以整个有效点集呈现一种上凸性质，即 $k j$ 的斜率要大于 $ji$ 的斜率。

这样，从左到右，斜率之间就是单调递减的了。当我们的最优解取得在 $j$ 点的时候，那么 $k$ 点不可能再取得比 $j$ 点更优的解了，于是 $k$ 点也可以排除。换句话说， $j$ 点之前的点全部不可能再比 $j$ 点更优了，可以全部从解集中排除。

从队头开始，如果已有元素 $a$ $b$ $c$ ，当 $i$ 点要求解时，如果 $g[b,a]<2*S[i]$ ，那么说明 $b$ 点比 $a$ 点更优， $a$ 点可以排除，于是 $a$ 出队

那么当 $d$ 要入队的时候，我们维护队列的上凸性质，即如果 $g[d,c]<g[c,b]$ ，那么就将 $c$ 点删除。直到找到 $g[d,x]>=g[x,y]$ 为止，并将 $d$ 点加入在该位置中。


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define ll long long
int n,m;
ll pre[500005],dp[500005];
int v[500005],q[500005];
ll f(int i){
	return dp[i]+pre[i]*pre[i];
}
ll fenmu(int j,int k){
	return (pre[j]-pre[k]);
}
ll fenzi(int j,int k){
	return (f(j)-f(k)); 
}
int main(){
  while(cin>>n>>m){
    int head=0,tail=-1;
	pre[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&v[i]);
		pre[i]=pre[i-1]+v[i];
	}
	q[++tail]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&fenzi(q[head+1],q[head])<=2*pre[i]*fenmu(q[head+1],q[head])) ++head;
		dp[i]=dp[q[head]]+(pre[i]-pre[q[head]])*(pre[i]-pre[q[head]])+m;
		while(head<tail&&fenzi(i,q[tail])*fenmu(q[tail],q[tail-1])<=fenzi(q[tail],q[tail-1])*fenmu(i,q[tail])) --tail;
		q[++tail]=i;
	}
	cout<<dp[n]<<endl;
  }
}

hdu 3507 斜率DP入门题

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