数学建模常用模型06 ：时间序列预测

时间序列预测与马尔科夫链预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等

ARMA模型的全称是自回归移动平均(auto regression moving average)模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型，它又可细分为AR模型(auto regression model)、MA模型(moving average model)和ARMA模型(auto regression moving average model)三大类。

例税收作为政府财政收入的主要来源，是地方政府实行宏观调控、保证地区经济稳定增长的重要因素。各级政府每年均需预测来年的税收收入以安排财政预算。什么方法能够帮助地方政府有效地预测税收收入？下表是某地历年税收数据（单位：亿元）

表1 各年度的税收数据

年份	1	2	3	4	5	6	7
税收	15.2	15.9	18.7	22.4	26.9	28.3	30.5
年份	8	9	10	11	12	13	14
税收	33.8	40.4	50.7	58	66.7	81.2	83.4

利用以下程序：

clc, clear
a=[15.2	 15.9	18.7	22.4	26.9	28.3	30.5  33.8	 40.4	50.7	58	    66.7	81.2	83.4];
m=input('请输入需要预测的个数：');
ahat=a;
for i=1:m   %m=需要预测值的数量
    fprintf('现在开始预测第%d个值。',i);
    a=ahat;
    a=a'; a=a(:); a=a'; %把原始数据按照时间顺序展开成一个行向量
    Rt=tiedrank(a);  %求原始时间序列的秩28.3
    n=length(a); t=1:n; 
    Qs=1-6/(n*(n^2-1))*sum((t-Rt).^2)   %计算Qs的值
    T=Qs*sqrt(n-2)/sqrt(1-Qs^2)   %计算T统计量的值
    t_0=tinv(0.975,n-2)     %计算上alpha/2分位数

作下列假设检验

${H_0}$ ：序列平稳；

${H_1}$ ：序列非平稳（存在上升或者下降趋势）。

Daniel检验方法：对于显著水平，由时间序列计算，的Spearman秩相关系数Qs，若>t_0，则拒绝，认为序列非平稳。并且Qs>0时，认为序列由上升趋势；Qs<0时，认为序列有下降趋势。又当t_0时，接受，可以认为是平稳序列。

本题中，，上alpha/2的值t_0=2.1788，所以>t_0，故认为序列是非平稳的；因为Qs>0，所以序列有上升趋势。为了构造平稳序列，对于作一阶差分运算，得到序列。从时间序列散点图来看，时间序列是平稳的。

实现代码如下：

 if(T>t_0)
        b=diff(a);   %求原始时间序列的一阶差分
        c=ar(b,2,'ls');  %利用最小二乘法估计模型的参数
        bhat=predict(c,b') %求原始数据的预测值,第二个参数必须为列向量
        bhat(end+1)=forecast(c,b',1); %计算1个预测值，第二个参数必须为列向量
        fprintf('第%d个值预测后的全部数据ahat：',i);
        ahat=[a(1), a+bhat']  %求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值
        delta=abs((ahat(1:end-1)-a)./a)  %计算原始数据预测的相对误差
    else
        c=ar(a,2,'ls');  %利用最小二乘法估计模型的参数
        bhat=predict(c,a')  %求原始数据的预测值,第二个参数必须为列向量
        bhat(end+1)=forecast(c,a',1); %计算1个预测值，第二个参数必须为列向量
        fprintf('第%d个值预测后的全部数据ahat：',i);
        ahat=bhat'%求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值
        delta=abs((ahat(1:end-1)-a)./a)  %计算原始数据预测的相对误差
    end
end

最终算得结果如下：

年份	1	2	3	4	5	6	7
税收	15.2	15.9	18.7	22.4	26.9	28.3	30.5
预测值	15.2	15.9	18.7	19.9651	25.3715	30.7182	31.8093
相对误差	0	0	0	0.1087	0.0568	0.0854	0.0429
年份	8	9	10	11	12	13	14
税收	33.8	40.4	50.7	58	66.7	81.2	83.4
预测值	32.0832	36.2442	44.5258	58.1439	67.1731	74.1835	91.2694
相对误差	0.0508	0.1029	0.1218	0.0025	0.0071	0.0864	0.0944

注：在使用该程序时，只需要把矩阵a换成自己的数据就行

一般推荐使用SPSS，具体步骤如下：

SPSS进行时间序列预测：

把数据输入到SPSS中；

2.定义日期和时间；

3.选择日期：选择“年”，第一个个案是：选择2000，然后点击“确定”；

4.转换→创建时间序列

5.把“税收”移到“变量”里，“名称”默认即可，“函数”中选择“平滑”，然后点击“确定”，即可得到预测结果；

为了和用MATLAB求解的结果作比较，这里也求出了其相对应的相对误差：

数学建模常用模型06 ：时间序列预测

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