数学建模 --- 预测方法：时间序列分析

时间序列分析 — 时间序列数据

针对数据：时间序列数据
对同一对象不同时间连续观察所取得的数据
三大部分

• 描述过去
• 分析规律
• 预测未来

三大模型

• 季节分解
• 指数平滑方法
• ARIMA模型

组成要素

1. 时间要素
2. 数值要素

预处理：有缺失值时

• 当缺失值在中间位置时的方法
  
  

模型1 — 时间序列分解模型

时间数值变化分解四种变动

1. 长期趋势 $T$
   在相当长的时间内，受到长期趋势影响，表现出持续上升或下降
2. 季节趋势 $S$
   由季节 (可以以季，月，周 等时间单位，但不能以年为单位) 的转变使得指标发生周期变化
3. 循环变动 $C$
   以若干年为周期，呈现波浪式的周期变动，表现为增加和减少交替出现
4. 不规则变动 $I$
   不可预知或无法预测

四种变动得到的 两种模型

$TSCI$

• 乘积模型
• 加法模型
  

SPSS 操作

第一步：定义时间变量

第二步：做时间序列图 并分析

• 时间轴标签是上一步定义的时间变量
• 时间线选项：可以在生成的图中标记对应的时间线
• 格式：画出图的格式

画出图后可以修改图的填充颜色等等

• 根据时间序列图进行分析
  

第三步：季节性分解

周期小于1年

• 结果分析：
  会得到四个新的变量，分别对应
  

• 结果中的季节性因子

1. 累加模型 — $T+S+C+I==变量$
   累加模型的季节因子$S$的和为0
   周期中，每个季节因子代表着与全年平均值的关系，高出或低于的值
   设季节性分解的变量为 — 销量
   
2. 乘法模型 — $T\ast S\ast C\ast I==变量$
   乘法模型的季节因子$S$的乘积为1
   周期中，每个季节因子代表着与全年平均值的关系，高出或低于的百分值

第四步：画出季节性分解后的时序图

1. 修改新增变量的名字
2. 分析 -> 时间序列预测 -> 序列图
   
   注意修改图的线条颜色，图形背景

第五步：预测

如果直接预测比较难,若要对销量直接预测，比较困难

• 但是，可以对图中直线 （I） （T+C+I） （S） （T+C）进行预测
  累加模型 — $T+S+C+I==变量$
  乘法模型 — $T\ast S\ast C\ast I==变量$

模型2 — 指数平滑模型 — 多个模型类型

Simple模型

弊端：因为原理，只能预测未来一期的值

线性趋势模型 与 布朗(Brown)线性趋势模型

阻尼趋势模型

在Holt模型上提出的

简单季节性

• $[$ $]$ 为取整符号

温特加法模型

温特乘法模型

ARIMA 与 SARIMA

• $\xi$是白噪声序列，一般会进行白噪声残差检验得到值

一般步骤

导入数据，必须定义时间变量

画出时间序列图

• 差异： 可以得到一阶差分
  如果是ARIMA(p,1,q)可以画出一阶差分后的图
  

查看SPSS给出的最优模型

• 只用选择因变量，因为是一元序列分析
• 会得到一个最优模型，之后分析可以根据最优模型分析
• 离群值选项可以全部勾选

需要勾选项

统计 -> 参数估算值
图 -> 拟合值、 ACF PACF、预测的置信区间 和 拟合的置信区间 — 加上后面两项图可能会模糊
保存 -> 预测值、 置信区间的上限， 置信区间的下限
预测 -> 可以指定预测的日期 和 置信区间( 图中显著性水平就是$\alpha =5$ )

注意事项

评价指标

在输出结果中的模型拟合度

写入论文

1. 对数据进行描述 — 是否有缺失值之类的、数据趋势、数据是否有季节性变化
   （可以根据最优模型来进行写作）
2. 剔除异常值
3. 画出序列图
   分析->时间序列预测->序列图
4. 解释SPSS的专家建模器的工作原理，以及选择一个最优模型
   
5. 将得到的模型的表达式和参数估计写入模型中
   
   

• 其他延迟数值没显示则为0
• ${\xi }_t$代表残差，预测值 $-$ 真实值
  

6. 白噪声进行残差检验
   

• PCF与PACF图中不超过两个直线则说明与0没有显著差异(即白噪声$\xi =0$)
• Q检验中 当显著性>0.5 我们称无法拒绝原假设

7. 通过平稳的$R^2$，$R^2,$或标准化BIC来检测模型的好坏