数学建模----聚类分析

聚类分析概念

聚类分析是根据给出数据中发现描述对象及关系的信息，对数据对象进行分组的过程。

聚类是一种寻找数据之间内在结构的技术，聚类把全体数据实例组织成一些相似组，这些相似组被称作簇，处于相同簇中的数据实例彼此相同（相关），处于不同簇中的实例彼此不同的（不相关）。

聚类分析是一种无监督学习，与监督学习不同的是，簇中表示数据类别分类或者信息是没有的，是对位置类别的样本进行划分，按照一定的规则划分为若干个簇类，揭示其中存在的规律。

在数学建模中，聚类分析可以应用在数据预处理过程中，对于复杂结构的多维数据可以通过聚类分析的方法对数据进行聚集，使复杂结构数据标准化。聚类分析还可以用来发现数据项之间的依赖关系，从而去除或合并有密切依赖关系的数据项。聚类分析也可以为某些数据挖掘方法（如关联规则、粗糙集方法），提供预处理功能。在商业类问题上，聚类分析是细分市场的有效工具，被用来发现不同的客户群，并且它通过对不同的客户群的特征的刻画，被用于研究消费者行为，寻找新的潜在市场等等。

聚类分析算法

聚类分析算法主要分为五大类：基于划分的聚类方法、基于层次的聚类方法、基于密度的聚类方法、基于网格的聚类方法和基于模型的聚类方法。

基于划分的聚类(k‐均值算法、k‐medoids算法、k‐prototype算法)
基于层次的聚类
基于密度的聚类(DBSCAN算法、OPTICS算法、DENCLUE算法)
基于网格的聚类
基于模型的聚类(模糊聚类、Kohonen神经网络聚类)

数学建模常用算法

聚类分析算法有很多种，在数学建模中基于划分的聚类方法是最常用的，本文主要介绍K-means聚类。

k‐均值聚类算法，通过计算样本点与类簇质心的距离，将类簇质心相近的样本点划分为同一类簇。并通过样本间的距离来衡量它们之间的相似度，两个样本距离越远，则相似度越低，反之相似度越高。

k-均值算法：

选择 K 个初始质心(K需要用户指定），初始质心随机选择即可，每一个质心为一个类

对剩余的每个样本点，计算它们到各个质心的欧式距离，并将其归入到相互间距离最小的质心所在的簇。计算各个新簇的质心。

在所有样本点都划分完毕后，根据划分情况重新计算各个簇的质心所在位置，然后迭代计算各个样本点到各簇质心的距离，对所有样本点重新进行划分

重复2. 和 3.，直到质心不在发生变化时或者到达最大迭代次数时

k-均值算法优缺点

k‐均值算法原理简单，容易实现，且运行效率比较高（优点）
k‐均值算法聚类结果容易解释，适用于高维数据的聚类（优点）
k‐均值算法采用贪心策略，导致容易局部收敛，在大规模数据集上求解较慢（缺点）
k‐均值算法对离群点和噪声点非常敏感，少量的离群点和噪声点可能对算法求平均值产生极大影响，从而影响聚类结果（缺点）
k‐均值算法中初始聚类中心的选取也对算法结果影响很大，不同的初始中心可能会导致不同的聚类结果。对此，研究人员提出k‐均值++算法，其思想是使初始的聚类中心之间的相互距离尽可能远

k‐均值++算法：

从样本中随机选择一个样本点ܿx1作为第一个聚类中心

计算其它样本点x到最近的聚类中心的距离݀d(x)

以概率 $\frac{d(x)^{2}}{\sum d(x)^{2}}$ 选择一个新样本点x2加入聚类中心集合中，其中距离值越大，被选中的概率就越高

重复2和3选定k个聚类中心

基于这k个聚类中心进行k-均值运算

k‐均值++算法的优缺点

提高局部最优点质量，收敛更快（优点）
相比随机选择中心点计算较大（缺点）

聚类分析评估

聚类分析评估是聚类过程的最后一步

聚类过程

数据准备：包括特征标准化和降维；

特征选择：从最初的特征中选择最有效的特征,并将其存储于向量中；

特征提取：通过对所选择的特征进行转换形成新的突出特征；

聚类(或分组)：首先选择合适特征类型的某种距离函数(或构造新的距离函数)进行接近程度的度量，而后执行聚类或分组；

聚类结果评估：是指对聚类结果进行评估，评估主要有3种：外部有效性评估、内部有效性评估和相关性测试评估。

一个良好的聚类算法应具备良好的可伸缩性，处理不同的类型数据的能力，处理噪声数据的能力，对样本数据顺序的不敏感性，约束条件下良好的表现，易解释性和易用性。

聚类分析结果的好坏可以从内部指标和外部指标评判：

外部指标指用事先指定的聚类模型作为参考来评判聚类结果的好坏
内部指标是指不借助任何外部参考，只用参与聚类的样本评判聚类结果好坏

案例

五个品种八个属性进行聚类：

% 五个品种八个属性进行聚类
%Matlab程序如下：
X=[7.90    39.77  8.49   12.94  19.27    11.05     2.04    13.29
7.68    50.37  11.35    13.30  19.25    14.59   2.75     14.87
9.42    27.93   8.20    8.14  16.17    9.42     1055     9.76                                                                        
9.16    27.98     9.01      9.32    15.99    9.10     1.82     11.35                                                              
10.06    28.64   10.52    10.05  16.18    8.39     1.96    10.81  ]';
Y=pdist(X);
SF=squareform(Y);
Z=linkage(Y,'average');
dendrogram(Z);
T=cluster(Z,'maxclust',3)

K-means聚类matlab代码

function [Idx, Center] = K_means(X, xstart)
% K-means聚类
% Idx是数据点属于哪个类的标记，Center是每个类的中心位置
% X是全部二维数据点，xstart是类的初始中心位置

len = length(X);        %X中的数据点个数
Idx = zeros(len, 1);    %每个数据点的Id，即属于哪个类

C1 = xstart(1,:);       %第1类的中心位置
C2 = xstart(2,:);       %第2类的中心位置
C3 = xstart(3,:);       %第3类的中心位置

for i_for = 1:100
    %为避免循环运行时间过长，通常设置一个循环次数
    %或相邻两次聚类中心位置调整幅度小于某阈值则停止
    
    %更新数据点属于哪个类
    for i = 1:len
        x_temp = X(i,:);    %提取出单个数据点
        d1 = norm(x_temp - C1);    %与第1个类的距离
        d2 = norm(x_temp - C2);    %与第2个类的距离
        d3 = norm(x_temp - C3);    %与第3个类的距离
        d = [d1;d2;d3];
        [~, id] = min(d);   %离哪个类最近则属于那个类
        Idx(i) = id;
    end
    
    %更新类的中心位置
    L1 = X(Idx == 1,:);     %属于第1类的数据点
    L2 = X(Idx == 2,:);     %属于第2类的数据点
    L3 = X(Idx == 3,:);     %属于第3类的数据点
    C1 = mean(L1);      %更新第1类的中心位置
    C2 = mean(L2);      %更新第2类的中心位置
    C3 = mean(L3);      %更新第3类的中心位置
end

Center = [C1; C2; C3];  %类的中心位置


%演示数据
%% 1 random sample
%随机生成三组数据
a = rand(30,2) * 2;
b = rand(30,2) * 5;
c = rand(30,2) * 10;
figure(1);
subplot(2,2,1); 
plot(a(:,1), a(:,2), 'r.'); hold on
plot(b(:,1), b(:,2), 'g*');
plot(c(:,1), c(:,2), 'bx'); hold off
grid on;
title('raw data');

%% 2 K-means cluster
X = [a; b; c];  %需要聚类的数据点
xstart = [2 2; 5 5; 8 8];  %初始聚类中心
subplot(2,2,2);
plot(X(:,1), X(:,2), 'kx'); hold on
plot(xstart(:,1), xstart(:,2), 'r*'); hold off
grid on;
title('raw data center');

[Idx, Center] = K_means(X, xstart);
subplot(2,2,4);
plot(X(Idx==1,1), X(Idx==1,2), 'kx'); hold on
plot(X(Idx==2,1), X(Idx==2,2), 'gx');
plot(X(Idx==3,1), X(Idx==3,2), 'bx');
plot(Center(:,1), Center(:,2), 'r*'); hold off
grid on;
title('K-means cluster result');

disp('xstart = ');
disp(xstart);
disp('Center = ');
disp(Center);

参考文献

https://blog.csdn.net/weixin_43584807/article/details/105539675

https://zhuanlan.zhihu.com/p/139924042

https://www.bilibili.com/video/BV1kC4y1a7Ee?p=19&vd_source=08ffbcb9832d41b9a520bccfe1600cc9