洛谷 P4111 [HEOI2015]小Z的房间 矩阵树定理

题目描述
你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
输入输出格式
输入格式：

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。

输出格式：

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

输入输出样例
输入样例#1：
2 2
..
..
输出样例#1：
4
输入样例#2：
2 2
*.
.*
输出样例#2：
0
说明
对于前20%的数据，n,m <= 3
对于前50%的数据，n,m <=5
对于前100%的数据，n,m<=9
有40%的数据保证，min(n,m)<=3
有30%的数据保证，不存在柱子

分析：很显然的矩阵树定理题，就是求生成树的个数。对于要取模的求行列式的题，可以先把矩阵中的数先取模，把负数变为正数，再高斯消元求行列式。因为求行列式公式就是一堆数相乘，所以取模不影响正确性。可以采用类似辗转相除的方式来消元。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL mod=1e9;

using namespace std;

int n,m,cnt;
char s[20];
int b[107][107],sum[107][107];
LL a[107][107];

int op(int x,int y)
{
    return (x-1)*m+y;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (s[j-1]=='.') b[i][j]=1;
                        else b[i][j]=0;
        }
    }   
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (b[i][j])
            {
                cnt++;
                sum[i][j]=cnt;
                if (b[i-1][j])
                {
                    int x=cnt;
                    int y=sum[i-1][j];
                    a[x][y]=mod-1;
                    a[y][x]=mod-1;
                    a[x][x]++;
                    a[y][y]++;
                }
                if (b[i][j-1])
                {
                    int x=cnt;
                    int y=sum[i][j-1];
                    a[x][y]=mod-1;
                    a[y][x]=mod-1;
                    a[x][x]++;
                    a[y][y]++;
                }
            }
        }
    }
    LL ans=1;
    n=cnt-1;            
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            while (a[j][i])
            {
                LL rate=a[i][i]/a[j][i];
                for (int k=i;k<=n;k++)
                {
                    a[i][k]=(a[i][k]-rate*a[j][k])%mod;
                    swap(a[i][k],a[j][k]);
                }
                ans=-ans;
            }
        }
        ans=(ans*a[i][i])%mod;
        if (a[i][i]==0) break;
    }
    printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
}