转自:https://blog.csdn.net/xunalove/article/details/70045815
求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。
简洁起见,我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路。
我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值,可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G,推荐使用邻接表。
spfa的算法思想(动态逼近法):
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。
松弛操作的原理是著名的定理:“三角形两边之和大于第三边”,在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛,就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j],如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j],否则不动。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的:
和广搜bfs的区别:
SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似,不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进(重新入队),于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。
算法描述:
void spfa(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));//vis[i]=1表示i点在队列q中,反之不在
memeset(dis,inf,sizeof(dis));//dis[i]表示i点到源点的最短距离
queue<int>q;
q.push(s);
vis[s]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(i=head[u];i!=-1;i=eg[i].next)//eg[]是一个链表储存点和边的信息
{
int v=eg[i].to;
int w=eg[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
ans=min(ans,d[v]+d[u]);
dis[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v])
{
q.push(v);
vis[v]=1;
}
}
}
}
}