无向联通图的二分染色与存在奇环的性质分析

题引

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题解及思路

题中给出了无向图的两种存在形状 二分染色 和 存在奇环

首先我们需要证明的是两者是互斥的。

二分图定义 ：是这样一个图，其顶点可分为两集合X和Y，所有的边关联的两顶点中，恰一个属于Ｘ，另一个属于Ｙ。同一集合的结点不相邻。

证明：假设二分图中的环是奇数环。

设一个环，x1，x2，x3，，，，x(2*k-1)，k>=1且为整数。相邻两点有边连接，x1与x(2*k-1)相连。

由二分图定义可知：x1与x2分别在X集合和Y集合，由于x2与x3的关系可知x3在X集合，则x4在Y集合，以此类推，可得奇数点在X集合，偶数点在Y集合，那么点x(2*k-1)则在X集合中，即与x1同为一个集合，但有之间假设的x1与x(2*k-1)有连边，那么此时就与二分图定义不符，这二分图中的环不可能是奇数环。

综上 ：二分图性质   一个图如果是二分图，那么这个图不存在奇环,反之也成立。(二分图中可以存在偶环)

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了解了以上的定理对于本题就是很简单的了。

只需要DFS对无向图进行二分染色，如果不满足二分图，即我们找到了顶点v和u染色错误。vu顶点构成的这条路径一定是一个奇环。根据dfs的顺序回溯即可还原这条路径。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5+10;
vector<int> ways[maxn];
int col[maxn],path[maxn],n,m,root;
vector<int> ans;
bool flag;
inline void init() {
    memset(col,-1,sizeof(col));
    memset(path,-1,sizeof(path));
    ans.clear();
    flag = true;
    for(int i=0;i<maxn;i++) ways[i].clear();
}
inline void addedge(int u,int v) {
    ways[u].push_back(v);
    ways[v].push_back(u);
}
void dfs(int rt,int c) {
    if(!flag) return ;
    col[rt] = c;
    for(int i=0;i<ways[rt].size();i++) {
        if(!flag) return;
        if(col[ways[rt][i]] == -1) {
            path[ways[rt][i]] = rt;
            dfs(ways[rt][i],c^1);
        }
        else {
            if(col[ways[rt][i]] == c) {
                path[ways[rt][i]] = rt;
                flag = false;
                root = ways[rt][i];
                return;
            }
        }
    } 
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
        init();
        for(int i=0,u,v;i<m;i++) {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            addedge(u,v);
        }
        dfs(1,0);
        if(flag) {
            printf("0\n");
            for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",col[i]);printf("%d\n",col[n]);
        }
        else {
            /**
            printf("%d\n",root);
            for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",path[i]);printf("\n");
            **/
            int now = path[root];
            ans.push_back(root);
            while(root != now) {
                ans.push_back(now);
                now = path[now];
            }   
            int k = ans.size();
            printf("%d\n",k);
            for(int i=0;i<k-1;i++) printf("%d ",ans[i]);printf("%d\n",ans[k-1]);
        }
    }
    return 0;
}