浅谈最小费用最大流

最大流的网络，可看作为辅送一般货物的运输网络，此时，最大流问题仅表明运输网络运输货物的能力，但没有考虑运送货物的费用。在实际问题中，运送同样数量货物的运输方案可能有多个，因此从中找一个输出费用最小的的方案是一个很重要的问题，这就是最小代价流所要讨论的内容。

最小费用最大流问题的模型
给定网络N=(V，E，c，w，s，t)，每一弧(vi,vj)属于E上，除了已给容量cij外，还给了一个单位流量的费用w(vi,vj)≥O(简记为wij)。所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流f，使得流的总输送费用取最小值。

W(f)=∑wijfij

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#define Inf 2147483647
using namespace std;

int n,m;
int s,t,x,y,c,w;
int cnt,minn,ans,sum;
int dis[10001],head[250011];
bool vis[10001];

struct edge  //邻接表
{
    int next,to,c,w;
}e[250011];

struct pre  //记录路径
{
    int fa,e;
}p[250011];
void init()
{
    cnt=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int from,int to,int c,int w)  //建模
{
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].c=c;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[from];
    head[from]=cnt++;
}

bool spfa()  //最短路不解释
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(p,0,sizeof(p));
    queue<int> q;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            int w=e[i].w;
            if (e[i].c && dis[v]>dis[u]+w)
            {
                dis[v]=dis[u]+w;
                p[v].fa=u;
                p[v].e=i;
                if (!vis[v])
                {
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return dis[t]!=0x3f3f3f3f;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&c,&w);
        add(x,y,c,w);
        add(y,x,0,-w);  //反向变的费用为正向边的相反数
    }
    while (spfa())
    {
        minn=Inf;
        for (int i=t;i!=s;i=p[i].fa)
         minn=min(minn,e[p[i].e].c);  //求最小流量
        for (int i=t;i!=s;i=p[i].fa)
        {
            e[p[i].e].c-=minn;  //正向边
            e[p[i].e^1].c+=minn;  //反向边
        }
        ans+=minn;  //最大流
        sum=sum+minn*dis[t];  //最小花费
    }
    printf("%d %d\n",ans,sum);
    return 0;
}