luogu4777[模板]拓展中国剩余定理题解

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777

分析

扩展\(CRT\)就是解决模数不互质的情况,说是扩展\(CRT\),其实都是扩欧...

先来考虑两个方程的情况:\(x \equiv a \mod b\)和\(x \equiv c \mod d\)

由方程1得\(x=tb+a\),代入方程2中得\(tb+a \equiv c \mod d\)，

把它变得更像方程:\(t \times b+t' \times d = c-a\)

解得\(t'\)后回代即可

那么对于多个方程组,假设对于前\(k\)个方程组我们已经求出一个解\(x\),记\(M= \prod_{i=1}^k m_i\),那么显然\(x+i \times M\)是前\(k\)个方程的一个通解,因为\(M \equiv 0 \mod m_i (i<=k)\)

那么我们要求的就是一个整数\(t\),使得\(x+ t \times M \equiv b _ {k+1} \mod m _ {k+1}\)

移项得\(t \times M + t' \times m _ {k+1} = b _ {k+1}- x\)(这里的\(x\)其实是已知的)

运用扩欧算出\(t\),更新\(x=x+t \times M\),然后\(M= M \times m _ {k+1}\)

当然无解的情况也就是扩欧无解的情况,当\(b _ {k+1}-x\)不整除\(gcd(M,m _ {k+1})\)时无解

注意

题目要求要将\(x\)化为最小整数解

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define ll __int128
#define ri register int 
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
ll b[maxn],m[maxn];
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){x=1,y=0;return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x;x=y,y=z-a/b*y;
    return d;
}
void print(ll x){
    if(!x) return;
    if(x) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
ll ans=0;
int main(){
    ll x,y,M,aa,bb,cc,d;
    bool flag=0;
    read(n);
    for(ri i=1;i<=n;i++){
        read(m[i]),read(b[i]);
    }
    M=m[1],ans=b[1];
    for(ri i=2;i<=n;i++){
        aa=M,bb=m[i],cc=(b[i]-ans%bb+bb)%bb;
        x=0,y=0;
        //if(aa<bb) d=exgcd(bb,aa,x,y);
        //else d=exgcd(aa,bb,x,y);
        /*错误点:不要加if不然这样的话方程都改变了,感觉我是真的傻*/
        d=exgcd(aa,bb,x,y);
        bb=bb/d;
        if(cc%d){flag=1;break;}
        x=((x*cc/d)%bb+bb)%bb;
        /*错误点:要先×cc再除d,因为cc保证是d的倍数*/
        ans+=M*x;M*=bb;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    if(flag)puts("-1");
    else {
        if(!ans)puts("0");
        else {print(ans);puts("");}
        //printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}